湖北省黄冈市2009年3月高三质量检测
数 学 试 题（理科）
黄冈市教育科学研究院命制 2009年3月9日下午3：00~5：00
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。卷面共150分，考试时间120分钟。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、学号、班级在密封线内填写清楚。
3．第Ⅰ卷各题答案填到第Ⅱ卷的答案栏内，考试结束，考生只交第Ⅱ卷。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选择中，只有一项是符合题目要求的）
1．若复数
,则|z|的值为
A．
B．
C．
D．2
2．已知数列{
}的通项公式是
,若对于m
，都有
成立，则实数k的取值范围是
A．k >
0
B．k > -
3．已知A、B、C是锐角△ABC的三个内角，内量
，则p与q的夹角是
A．锐角 B．钝角 C．直角 D．不确定
4．已知
的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，则下列结论正确的是
A．展开式中共有八项 B．展开式中共有四项为有理项
C．展开式中没有常数项 D．展开式中共有五项为无理项
5．已知
,则实数m的值为
A．2
B．
6．如图正方体AC
中P为棱BB的中点，则在平面BCCB内过点P
与直线AC成
A．0
B．
7．已知椭圆
（a>b>0）的短轴端点分别为B、B
，左、右焦
点分别为F、F，长轴右端点为A，若
，则椭圆的离心率为
A．
B．
C．
D．
8．已知大于1的实数m、n满足lg
m+lgmlgn-2lgn=0，则函数
与函数
的图象关系是
A．关于原点对称 B．关于y轴对称
C．关于直线x=m对称
D．关于直线
对称
9．某篮球选手每次投篮命中的概率为，各次投篮间相互独立，令此选手投篮n次的命中率为（为进球数与m之比），则事件
,发生的概率为
A．
B．
C．
D．
10．已知命题：
①已知函数
的图象如图1所示，则
；
②过如图2所示阴影部分区域内点可以作双曲线
同一支的两条切线；
③已知A、B、C是平面内不同的点，且
，则
是
A、B、C三点共线的充要条件．以上正确命题个数是
A．0
B．
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题
11．坐标原点为O，抛物线
与过其焦点的直线交于A、B两点，则
=_________
12．若数列{}满足
，则数列{}为“调和数列”，已知数列{
}为“调和数列”，且
，则
的最大值是_______。
13．已知
满足条件
，则
的取值范围是_______________。
14．函数
图象上有且仅有两个点到
轴距离等于1，则a的取值范围是_______.
15．如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E、F分
别为PA、PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：
①直线BE与直线CF异面；
②直线BE与直线AF异面；
③直线EF//平面PBC；
④平面BCE
平面PAD
其中正确的有______________个
三、解答题
16．（本题满分12）
已知函数
，且给定条件
,
（1）求
的最大值及最小值；
（2）若又给条件
且，p是q的充分条件，求实数m的取值范围。
17．（本题满分12分）
四个大小相同的小球分别标有数字1、1、2、2，把它们放在一个盒子中，从中任意摸出两个小球，它们的标号分别为，记=
（1）求随机变量的分布列及数学期望；
（2）设“函数
在区间（2，3）上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率。
18．（本题满分12分）
如图，在直三棱柱
中，
,AC=BC CC，D为
AB的中点.
（1）求证：
（2）求二面角B―BC―D的余弦值的大小。
19．（本题满分12分）
设椭圆
的两个焦点是
，且椭圆上存在点M，使
（1）求实数m的取值范围；
（2）若直线
与椭圆存在一个公共点E，使得|EF|+|EF|取得最小值，求此最小值及此时椭圆的方程；
（3）在条件（2）下的椭圆方程，是否存在斜率为
的直线
,与椭圆交于不同的两A，B，满足
，且使得过点
两点的直线NQ满足
=0？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由
20．（本题满分13分）
设函数
.
（1）讨论函数
的单调性；
（2）判断方程
的实数解的个数，并加以证明。
21. （本题满分14分）
已知定义域在R上的单调函数
,存在实数
，使得对于任意的实数
，总有
恒成立。
（1）求的值；
（2）若
=1，且对任意正整数n,有
,记
，比较
与T
的大小关系，并给出证明；
(3)在(2)的条件下，若不等式
对任意不小于2的正整数n都成立，求实数x的取值范围。
黄冈市2009年3月份高三年纪质量检测数学试题（理科）
一、选择题
1.B 2.D 3.A 4.C 5.B 6.C 7.D 8.B 9.C 10.A
二、填空题
11.
12.100 13.[3.9] 14.a<-1或a=0或a>1 15.2个
三、解答题
16.解：(1)
（3分）
又
（6分）
(2)
又
（12分）
17.解（1）随即变量的取值为2、3、4.
从盒子中摸出两个小球的基本事件总数为C
.
设四个小球分别为
当
=2时，摸出小球为1
。
；
当=3时，摸出的小球为1
和2
和2
、1和2
和2共4种情况。
P（=3）=
；
当=4时，摸出的小球为
的分布列为
2
3
4
P
E=2×+3×+4×=3 （6分）
（2）函数
在区间（2，3）上有且只有一个零点。
。即
（12分）
18.解：（1）连接BC交BC于E，连接DE，
BCCC，
（6分）
（2）作BF
于F，连接EF
又
设
又
（12分）
19.解：（1）由椭圆定义可得
，可得
，而
,
解得
（4分）
（或解：以
为直径的圆必与椭圆有交点，即
（2）由
，得
解得
此时
当且仅当m=2时，
（8分）
（3）由
设A，B两点的坐标分别为
，中点Q的坐标为
则
，两式相减得
①
且在椭圆内的部分
又由
可知
②
①②两式联立可求得点Q的坐标为
点Q必在椭圆内
又
20.解：（1）
故
(2)
故
由此猜测
下面证明：当
时，由
得
若
当
当
时,
当
时，
总之
故
在(-
（10分）
又
所以当时，在（-1，0）上有唯一实数解，从而在
上有唯一实数解。
综上可知，
.
(13分)
21.解：（1）令
令
由①②得
（4分）
（2）由（1）可得
则
又
又
(3)令
则
当
即
解得或
故
（14分）
命题人：黄梅一中 石自松
审题人：黄冈市教科院 丁明忠
红安七里高中 方忠翔