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济宁市2008―2009学年度高三第一阶段质量检测
数学（文史类）试题2009．3
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用2B铅笔涂写在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．“
”是“复数
为纯虚数”的
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【解析】复数为纯虚数”时，或
，选A。
2．给出命题：“若
，则
”．在它的逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中，真命题个数是
A．3 B．2 C．1 D．0
【解析】若
，则
，显然逆命题、否命题不正确，选C。
3．已知
，则
的值为
A．－2
B．－
【解析】
，
所以
，选C。
4．若点
到直线
的距离为4，且点
在不等式
表示的平面区域内，则实数
的值为
A．7 B．－7
C．3 D．－3
【解析】由若点到直线的距离
为4可得
或
；又点在不等式表示的平面区域内，所以，所以选D。
5．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图
都是边长为2的正三角形，则这个几何体的侧面积为
A．
B． 
C． 
D． 
【解析】几何体为圆锥，侧面积为
，
选B。
6．若关于
的不等式
的解集是
，则关于的不等式
的解集是
A． 
B． 
C． D． 
【解析】不等式的解集是，所以
，
所以
或
，选A。
总数和体重正常的频率分别为
7．某校对高三年级的学生进行体检，现将高三男生的体重（单位：┧）数据进行整理后分为五组，并绘制频率分布直方图（如图所示）．根据一般标准，高三男生的体重超过65┧属于偏胖，低于55┧属于偏瘦．已知图中从左到右第一、第三、第四、第五小组的频率分别为0．25、0．20、0．10、0．05，第二小组的频数为400，则该校高三年级的男生
A．1000，0．50
B．800，0．50
C．800，0．60
D．1000，0．60
【解析】第二小组的频率为0．40，所以该校高三年级的男生
总数为
（人）；体重正常的频率为0．40+0．20=0．60，选D。
8．抛物线
的焦点坐标为
A．
B．
C． 
D． 
【解析】
，所以焦点坐标为，选D。
9．在数列
中，
（
为非零常数），且前
项和为
，则实数
的值为
A．0 B．1 C．－1 D．2
【解析】可得
，
所以
，选C．
10．已知向量
，设
，若
，则实数的值为
A．－1
B．
C． 
D． 1
【解析】
，选B．
11．已知
是
内的一点，且
，若
和
的面积分别为
，则
的最小值是
A．20 B．18 C．16 D．9
【解析】
，
，选B．
12．已知函数
，若
存在零点，则实数的取值范围是
A．
B． 
C． 
D． 
【解析】
，选D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
注意事项：
1．第Ⅱ卷共2页，必须用0．5毫米的黑色墨水签字笔书写，作图时，可用2B铅笔．字体要工整，笔迹要清晰．严格在题号所指示的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填写在答题纸上．
13．已知
，则
▲
．
【解析】
。
14．如果执行如图所示的程序，那么输出的值
▲ ．
【解析】
。
15．已知数列2008，2009，1，－2008，－2009，……这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2009项之和
等于
▲ ．
【解析】略。
16．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，是双曲线上的一点，若
，
则
▲ ．
【解析】
，
在
中
为
中点，
，
所以
。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
三、解答题：本大题共6个小题，共74分．
17．（本小题满分12分）
在中，
分别为角
的对边，
且满足
．
（Ⅰ）求角
的值；
（Ⅱ）若
，设角
的大小为
的周长为
，求
的最大值．
18． （本小题满分12分）
已知关于的一元二次方程
．
（Ⅰ）若
是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率；
（Ⅱ）若
，求方程没有实根的概率．
19． （本小题满分12分）
如图，四边形
为矩形，
平面
,
，
平面
于点
，
且点在
上．
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求三棱锥
的体积；
（Ⅲ）设点在线段
上，且满足
，
试在线段上确定一点
，使得
平面
．
20． （本小题满分12分）
设同时满足条件：①
；②
(
是与无关的常数)的无穷数列
叫“特界” 数列．
（Ⅰ）若数列为等差数列，
是其前项和，
，求；
（Ⅱ）判断（Ⅰ）中的数列
是否为“特界” 数列，并说明理由．
21． （本小题满分12分）
椭圆
与直线
相交于、
两点，且
（为坐标原点）．
（Ⅰ）求证：
等于定值；
（Ⅱ）当椭圆的离心率
时，求椭圆长轴长的取值范围．
22．（本小题满分14分）
已知函数
．
（Ⅰ）若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若
是函数的极值点，求函数在区间
上的最大值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数
，使得函数
的图象与函数的图象恰有3个交点？若存在，请求出的取值范围；若不存在，试说明理由．
济宁市2008-2009学年度高三第一阶段质量检测
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．A 2．C 3．C 4．D 5．B 6．A 7．D 8．D 9．C 10．B 11．B 12．D
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．
14．3825 15．1 16．0ⅠⅡ
三、解答题
17．解：（Ⅰ）在
中，由
及余弦定理得
而
，则
；
（Ⅱ）由
及正弦定理得
，
而
，则
于是
，
由
得
，当
即
时，
。
18解：（Ⅰ）基本事件
共有36个，方程有正根等价于
，即
。设“方程有两个正根”为事件
，则事件包含的基本事件为
共4个，故所求的概率为
；
（Ⅱ）试验的全部结果构成区域
，其面积为
设“方程无实根”为事件
，则构成事件的区域为
，其面积为
故所求的概率为
19．解：（Ⅰ）证明：由
平面
及
得
平面，则
而
平面
，则
，又
，则
平面
，
又
平面，故
。
（Ⅱ）在
中，过点
作
于点
，则
平面
．
由已知及（Ⅰ）得
．
故
(Ⅲ)在中过点
作
交
于点
，在
中过点作
交
于点
，连接
，则由
得
由平面
平面
，则
平面
再由
得
平面，又
平面
，则
平面．
故当点为线段
上靠近点
的一个三等分点时，平面．
20．解：（Ⅰ）设等差数列
的公差为
，
则
，
（Ⅱ）由
得
，故数列
适合条件①
而
，则当
或
时，
有最大值20
即
，故数列适合条件②．
综上，故数列是“特界”数列。
21．
证明：
消去
得
设点
，则
，
由
，
，即
化简得
，则
即
，故
（Ⅱ）解：由
化简得
由
得
，即
故椭圆的长轴长的取值范围是
。
22．解：（Ⅰ）
，由
在区间
上是增函数
则当
时，恒有
，
即
在区间上恒成立。
由
且
，解得
．
（Ⅱ）依题意得
则
，解得
而
故在区间
上的最大值是
。
（Ⅲ）若函数
的图象与函数的图象恰有3个不同的交点，
即方程
恰有3个不等的实数根。
而
是方程的一个实数根，则
方程
有两个非零实数根，
则
即
且
．
故满足条件的
存在，其取值范围是
．