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一、选择题（每小题5分，共60分）
1．A 2．C 3．C 4．D 5．B 6．A 7．D 8．D 9．C 10．B 11．B 12．D
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．
14．3825 15．1 16．0ⅠⅡ
三、解答题
17．解：（Ⅰ）在
中，由
及余弦定理得
而
，则
；
（Ⅱ）由
及正弦定理得
，
而
，则
于是
，
由
得
，当
即
时，
。
18解：（Ⅰ）基本事件
共有36个，方程有正根等价于
，即
。设“方程有两个正根”为事件
，则事件包含的基本事件为
共4个，故所求的概率为
；
（Ⅱ）试验的全部结果构成区域
，其面积为
设“方程无实根”为事件
，则构成事件的区域为
，其面积为
故所求的概率为
19．解：（Ⅰ）证明：由
平面
及
得
平面，则
而
平面
，则
，又
，则
平面
，
又
平面，故
。
（Ⅱ）在
中，过点
作
于点
，则
平面
．
由已知及（Ⅰ）得
．
故
(Ⅲ)在中过点
作
交
于点
，在
中过点作
交
于点
，连接
，则由
得
由平面
平面
，则
平面
再由
得
平面，又
平面
，则
平面．
故当点为线段
上靠近点
的一个三等分点时，平面．
20．解：（Ⅰ）设等差数列
的公差为
，
则
，
（Ⅱ）由
得
，故数列
适合条件①
而
，则当
或
时，
有最大值20
即
，故数列适合条件②．
综上，故数列是“特界”数列。
21．
证明：
消去
得
设点
，则
，
由
，
，即
化简得
，则
即
，故
（Ⅱ）解：由
化简得
由
得
，即
故椭圆的长轴长的取值范围是
。
22．解：（Ⅰ）
，由
在区间
上是增函数
则当
时，恒有
，
即
在区间上恒成立。
由
且
，解得
．
（Ⅱ）依题意得
则
，解得
而
故在区间
上的最大值是
。
（Ⅲ）若函数
的图象与函数的图象恰有3个不同的交点，
即方程
恰有3个不等的实数根。
而
是方程的一个实数根，则
方程
有两个非零实数根，
则
即
且
．
故满足条件的
存在，其取值范围是
．
某校从参加高三年级第一学期期末考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数，满分为100分），将数学成绩进行分组并根据各组人数制成如下频率分布表：
（Ⅰ）将上面的频率分布表补充完整，并估计本次考试全校85分以上学生的比例；
（Ⅱ）为了帮助成绩差的同学提高数学成绩，学校决定成立“二帮一”小组，即从成绩为
中任选出两位同学，共同帮助成绩在
中的某一个同学，试列出所有基本事件；若
同学成绩为43分，
同学成绩为95分，求、两同学恰好被安排在“二帮一”中同一小组的概率．
|
分 组 |
频 数 |
频 率[来源:学_科_网] |
|
[40, 50 ） |
2 |
0.04 |
|
[ 50, 60 ） |
3 |
0.06 |
|
[ 60, 70 ） |
14 |
0.28 |
|
[ 70, 80 ） |
15 |
0.30 |
|
[ 80, 90 ） |
|
|
|
[ 90, 100 ] |
4 |
0.08 |
|
合 计 |
|
|
【解析】第一问利用表格可知第五行以此填入 12 0.24
第七行以此填入 50 1 估计本次全校85分以上学生比例为32％
第二问中，设数学成绩在[90，100]间的四个同学分别用字母B1，B2，B3，B4表示；被帮助的两个同学为A1，A2出现的“二帮一”小组有A1B1B2；A1B1B3；A1B1B4；A1B2B3；A1B2B4；A1B3B4
A2B1B2；A2B1B3；A2B1B4；A2B2B3；A2B2B4；A2B3B4
A1、B1两同学恰好被安排在“二帮一”中同一小组的有 A1B1B2；A1B1B3；A1B1B4
l利用古典概型概率得到。
（Ⅰ）第五行以此填入 12 0.24 ……………2分
第七行以此填入 50 1 ……………4分
估计本次全校85分以上学生比例为32％ ……………6分
（Ⅱ）设数学成绩在[90，100]间的四个同学分别用字母B1，B2，B3，B4表示；被帮助的两个同学为A1，A2出现的“二帮一”小组有A1B1B2；A1B1B3；A1B1B4；A1B2B3；A1B2B4；A1B3B4
A2B1B2；A2B1B3；A2B1B4；A2B2B3；A2B2B4；A2B3B4
A1、B1两同学恰好被安排在“二帮一”中同一小组的有 A1B1B2；A1B1B3；A1B1B4
所以 A1、B1两同学恰好被安排在“二帮一”中同一小组的概率为 3 /12 =1 /4
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