安徽省蚌埠市2009年第二次教学质量检查考试
理 科 数 学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟
参考公式：
，其中
表示球的半径
如果事件A在一次试验中发生的概率为P ，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的A、B、C、D的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号涂到答题卡上。
1、 设全集
，则
为
A、
B、
C、
D、
2、已知
，则
A、2
B、
C、 3 D、 
3、已知幂函数
的部分对应值如下表：
则不等式
的解集是
A、
B、
C、
D、
4、设复数
为复数）在映射
下的象为
，则
的象是
A、
B、
C、
D、
5、一个几何体的三视图如右所示，则该几何体的表面积是
A、
B、
C、
D、
6、已知蟑螂活动在如图所示的平行四边形OABC 内，现有一种
利用声波消灭蟑螂的机器，工作时，所发出的圆弧型声波DFE从
坐标原点O向外传播，若D是DFE弧与x轴的交点，设OD=x，
，圆弧型声波DFE在传播过程中扫过平行四边形OABC
的面积为y（图中阴影部分），则函数
的图像大致是
7、已知双曲线
的中心在原点，右焦点与抛物线
的焦点重合，则该双曲线的离心率等于
A、
B、
C、
D 、
8、命题
：
递减，命题
：在
上，函数
递减，则下列命题正确的是
A、
B、
C、
D、
9、数列
中
，数列
中，
，在直角坐标平面内，已知点列
，则向量
的坐标为
A、
B、
C、
D、
10、将一个钢球置于由6根长度为
的钢管焊接成的正四面体的钢架内，那么，这个钢球的最大体积为
A、
B、
C、 
D 
11、已知
是二次方程的两个不同实根，
是二次方程
的两个不同实根，若
，则
A、介于之间 B、介于之间
C、与相间相列
D、
相邻，
相邻
12、设圆C：
，直线
：
，点
，若存在点
，使
（O为坐标原点），则
的取值范围是
A、
B、
C、
D、
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、
填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，请将答案直接填在答题卡上。
13、200辆汽车正在经过某一雷达区，这些汽车运行
的时速频率分布直方图如图所示，则时速超过
的汽车数量约为________________.
14、设函数
，若
，则的值为________.
15、定义某种运算
，运算原理
如图所
示，则函数
的值域为____________.
16、对于△ABC，有如下命题：
（1）若
，则△ABC一定为等腰三角形。
（2）若
，△ABC一定为等腰三角形。
（3）若
，则△ABC一定为
钝角三角形。
（4）若
，ZE△ABC一定为锐角三角形。
则其中正确命题的序号是_________。（把所有正确的命题序号都填上）
三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答须写出说明、证明过程和演算步骤。
17、（本小题满分12分）
已知函数
。
（Ⅰ）求函数的最小正周期和最小值；
（Ⅱ）求函数在
上的单调递增区间。
18、（本小题满分12分）
新一轮课程改革强调综合素质考评，假定某学校某班级50名学生任何一人在综合素质考评的人一方面获“A”
的概率都是
（注：综合素质考评分以下六个方面：A交流与合作、B、公民道德修养、C、学习态度与能力、D、实践与创新、E、运动与健康、F、审美与表现）。
（Ⅰ）某学生在六个方面至少获3个“A”等级考评的概率；
（Ⅱ）若学生在六个方面获不少于3个“A”等级就被认定为综合考评“优”，求该班综合考评获“优”的均值。
19、（本小题满分12分）
如图，等腰直角△ABC中，
ABC
，
EA
平面ABC，FC//EA，EA = FC = AB = 
（Ⅰ）求证：AB 平面BCF；
（Ⅱ）求二面角A-EB-F的某三角函数值。
20、（本小题满分12分）
已知函数
在
上是增函数。
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，设
，求函数
的最小值。
21、（本小题满分12分）
设
是椭圆
上的两点，已知
，若
，椭圆的离心率
，短轴长为2，
为坐标原点。
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由。
22、（本小题满分14分）
数列
和数列
由下列条件确定：
①
；
②当
时，
与
满足如下条件：当
时，
；当
时，
。
解答下列问题：
（Ⅰ）证明数列
是等比数列；
（Ⅱ）求数列
的前n项和为
；
（Ⅲ）
是满足
的最大整数时，用
表示n的满足的条件。
蚌埠市第二次教学质量检查考试
理科数学答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
A
D
B
D
A
D
C
B
C
C
二、填空题
13、76
14、
15、
16、(2) (3) (4)
三、解答题
17、解：（Ⅰ）
，当
即
时，
的最小值
（Ⅱ）由于
，故
。由
，得
由
，得
所以函数在上的单调增区间为
和
18、解：（Ⅰ）设某学生在六个方面或“A”等级的个数为
，则～
，依题意，某学生在六个方面至少获3个“A”等级考评的概率为：
（Ⅱ）由（Ⅰ）学生被认定为综合考评“优”的概率为
，若记该班综合考评获“优”的人数为
，则～
，所以该班综合考评或“优”的均值为
19、解：（Ⅰ）∠ABC
，又EA平面ABC，FC//EA
所以
平面
（Ⅱ）取BE的中点G连接FG，由EA=BA知AC⊥EB又EF=FB=
，故FG⊥EB，所以∠AGF即为二面角A-EB-F的平面角。
在△AGF中，AF=
，AG=
，FG=
由余弦定理有
所以二面角A-EB-F的余弦值是
20、解：（Ⅰ）
。∵ 在（0，1）上
是增函数，
∴
在（0，1）上恒成立，即
∵
（当且仅当
时取等号），所以
。
（Ⅱ）设
，则
（显然
）
当
时，
在区间[1，3]上是增函数，所以h(t)的最小值为
。
当
时，
因为函数h(t)在区间
是增函数，在区间
是也是增函数，又h(t)在[1，3]上为连续函数，所以h(t)在[1，3]上为增函数，所以h(t)的最小值为h(1)=
∴
21、解：（Ⅰ）
椭圆方程为
（Ⅱ）（1）当直线AB斜率不存在时，即
，由得
，又
在椭圆上，所以
，所以三角形的面积为定值。
（2）当当直线AB斜率存在时，设AB的方程为
，得到
，代入整理得：
所以三角形的面积为定值。
22、（Ⅰ）当时，
当时，
所以不论哪种情况，都有
，又显然
，
故数列
是等比数列
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，故
所以，
所以，
，
（Ⅲ）当
时，
由②知
不成立，故
从而对于
，有
，于是
，故
若
，
若
，则
所以
，这与n是满足的最大整数矛盾。
因此n是满足
的最小整数，而
因而，n是满足
最小整数。