摘要：因为函数h(t)在区间是增函数.在区间是也是增函数.又h(t)在[1.3]上为连续函数.所以h(t)在[1.3]上为增函数.所以h=
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已知
．
（１）求
的单调区间；
（２）证明：当
时，
恒成立；
（３）任取两个不相等的正数
，且
，若存在
使
成立，证明：
．
【解析】（1）g(x)=lnx+
，
=
（1’）
当k
0时，>0，所以函数g(x)的增区间为（0，+
），无减区间；
当k>0时，
>0,得x>k；
<0，得0<x<k∴增区间（k,+）减区间为（0，k）（3’）
(2)设h(x)=xlnx-2x+e(x
1)令
= lnx-1=0得x=e, 当x变化时，h(x),
的变化情况如表
|
x |
1 |
(1,e) |
e |
(e,+ |
|
|
|
－ |
0 |
+ |
|
h(x) |
e－2 |
|
0 |
↗ |
↘所以h(x)0, ∴f(x)2x-e
（5’）
设G(x)=lnx-
(x1) 
=
=
0,当且仅当x=1时,=0所以G(x) 为减函数, 所以G(x) G(1)=0, 所以lnx-0所以xlnx
(x1)成立,所以f(x) 
,综上,当x1时, 2x-ef(x)
恒成立.
(3) ∵
=lnx+1∴lnx0+1=
=
∴lnx0=
-1
∴lnx0 –lnx
=
-1–lnx=
=
=
(10’) 设H(t)=lnt+1-t(0<t<1),
=
=
>0(0<t<1), 所以H(t) 在(0,1)上是增函数,并且H(t)在t=1处有意义, 所以H(t)
<H(1)=0∵
∴
=
∴lnx0 –lnx>0, ∴x0 >x
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（1）利用函数单调性的定义证明函数h(x)=x+
在[
，∞)上是增函数；
（2）我们可将问题（1）的情况推广到以下一般性的正确结论：已知函数y=x+
有如下性质：如果常数t＞0，那么该函数在(0，
]上是减函数，在[
，+∞)上是增函数．
若已知函数f(x)=
，x∈[0，1]，利用上述性质求出函数f（x）的单调区间；又已知函数g（x）=-x-2a，问是否存在这样的实数a，使得对于任意的x1∈[0，1]，总存在x2∈[0，1]，使得g（x2）=f（x1）成立，若不存在，请说明理由；如存在，请求出这样的实数a的值．
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| 3 |
| x |
| 3 |
（2）我们可将问题（1）的情况推广到以下一般性的正确结论：已知函数y=x+
| t |
| x |
| t |
| t |
若已知函数f(x)=
| 4x2-12x-3 |
| 2x+1 |
有一段“三段论”推理：对于可导函数f（x），若f（x）在区间（a，b）上是增函数，则f′（x）＞0对x∈（a，b）恒成立，因为函数f（x）=x3在R上是增函数，所以f′（x）=3x2＞0对x∈R恒成立．以上推理中（ ）
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，所以f(1)f(2)<0，因此f(x)在区间（1，2）上存在零点，又因为y=
与y=-
在（0，+
）上都是增函数，因此
在（0，+
解的个数问题，近而转化成判断
与
交点个数问题，在坐标系中画出图形
，
，若
在区间
上是增函数，求
的取值范围；
，
，若
,求
的取值范围.
解得参数m的取值范围。
