Question

17．如图所示，足够长的光滑水平导轨的间距为l，电阻不计，垂直轨道平面有磁感应强度为B的匀强磁场，导轨上相隔一定距离放置两根长度均为l的金属棒，a棒质量为m，电阻为R，b棒质量为2m，电阻为2R．现给a棒一个水平向右的初速度v₀，求：（a棒在以后的运动过程中没有与b棒发生碰撞）
（1）b棒开始运动的方向：
（2）当a棒的速度减为$\frac{{v}_{0}}{2}$时，b棒刚好碰到了障碍物，经过很短时间t₀速度减为零（不反弹）．求碰撞过程中障碍物对b棒的冲击力大小：
（3）b棒碰到障碍物后，a棒继续滑行的距离．

Answer 1

分析 （1）根据右手定则得出回路中的电流方向，再根据左手定则得出b棒所受安培力的方向，确定b棒的运动方向．
（2）对a、b棒运用动量守恒定律，求出a棒的速度减为$\frac{{v}_{0}}{2}$时b棒的速度，根据动量定理求出碰撞过程中障碍物对b棒的冲击力大小．
（3）根据a棒的速度得出a棒所受的安培力，结合动量定理，运用积分思想求出b棒碰到障碍物后，a棒继续滑行的距离．

解答 解：（1）根据右手定则知，回路中产生逆时针的电流，根据左手定则知，b棒所受的安培力方向向右，可知b棒向右运动．
（2）设b棒碰上障碍物瞬间的速度为v₂，之前两棒组成的系统动量守恒，则
$m{v}_{0}+0=m\frac{{v}_{0}}{2}+2m{v}_{2}$，
解得${v}_{2}=\frac{{v}_{0}}{4}$．
b棒碰障碍物过程中，根据动量定理得，$-F{t}_{0}=0-2m\frac{{v}_{0}}{4}$，
而此时b棒受到的安培力F_A=Bl$\frac{Bl\frac{{v}_{0}}{2}}{3R}$
解得F_冲=$\frac{m{v}_{0}}{2{t}_{0}}$-$\frac{{B}^{2}{l}^{2}{v}_{0}}{6R}$．
（3）a棒单独向右滑行的过程中，当其速度为v时，所受的安培力大小为
${F}_{安}=BIl=\frac{Blv}{3R}lB$，
极短时间△t_i→0，a棒的速度由v变为v′，根据动量定理，有：-F_安△t_i=mv′-mv，
代入后得，$\frac{{B}^{2}{l}^{2}}{3R}{v}_{i}△{t}_{i}=mv-mv′$，
把各式累加，得$\frac{{B}^{2}{l}^{2}}{3R}∑{v}_{i}△{t}_{i}=m\frac{{v}_{0}}{2}-0$，
a棒继续前进的距离x=∑△x_i=∑v_i△t_i=$\frac{3m{v}_{0}R}{2{B}^{2}{l}^{2}}$．
答：（1）b棒开始运动的方向向右；
（2）碰撞过程中障碍物对b棒的冲击力大小为$\frac{m{v}_{0}}{2{t}_{0}}$-$\frac{{B}^{2}{l}^{2}{v}_{0}}{6R}$；
（3）b棒碰到障碍物后，a棒继续滑行的距离为$\frac{3m{v}_{0}R}{2{B}^{2}{l}^{2}}$．

点评 本题考查了动量守恒定律、动量定理与电磁感应、闭合电路欧姆定律的综合运用，对于第三问，对学生数学能力要求较高，要加强学生在积分思想的运用．