Question

12．如图所示，一半径为R的$\frac{1}{4}$球体放置在水平桌面上，球体由折射率为$\sqrt{3}$的透明材料制成．现有一束位于球心O的竖直平面内的光线，平行于桌面射到球体表面上，折射入球体后再从竖直表面射出，已知入射光线与桌面的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，求光线在竖直表面的出射角．

Answer 1

分析 当光从图示位置射入，经过二次折射后射出球体，先由几何知识求出在开始点的入射角，由折射定律可求出开始点的折射角，由几何关系得到细光束在竖直表面上的入射角．根据折射定律求出光线在出射点的折射角．

解答 解：设入射光线与$\frac{1}{4}$球体的交点为C，连接OC，OC即为入射点的法线．因此，图中的角α为入射角．过C点作球体水平表面的垂线，垂足为B．依题意，∠COB=α．又由△OBC知
sinα=$\frac{BC}{R}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$    …①
设光线在C点的折射角为β，由折射定律得
$\frac{sinα}{sinβ}=\sqrt{3}$…②
由①②式得β=30°
由几何关系知，光线在球体的竖直表面上的入射角γ（见图）为γ=α-β=60°-30°=30°．由折射定律得
$\frac{sinγ}{sinθ}=\frac{1}{\sqrt{3}}$
因此  $sinθ=\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得θ=60°
答：光线在竖直表面的出射角是60°．

点评 该题考查光的折射定律，其中，由于光要经过两次折射，所以能正确的作出光路图，找出几何关系是解决几何光学问题的关键．