Question

11．探月工程三期飞行试验器于2014年10月24日2时在中国西昌卫星发射中心发射升空，飞行试验器飞抵距月球6万千米附近进入月球引力影响区，开始在月球近旁转向飞行，最终进入距月球表面h=200km的圆形工作轨道．设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g，万有引力常量为G，则下列选项错误的是（　　）

• A． 飞行试验器绕月球运行的周期为2π$\sqrt{\frac{R}{g}}$
• B． 飞行试验器工作轨道处的重力加速度为（$\frac{R}{R+h}$）²g
• C． 飞行试验器在工作轨道上的绕行速度为R$\sqrt{\frac{R}{R+h}}$
• D． 月球的平均密度为$\frac{3g}{4πGR}$

Answer 1

分析 月球表面重力与万有引力相等，卫星绕月转动时万有引力提供圆周运动向心力．

解答 解：令月球质量为M，在月球表面重力与万有引力相等有：
$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$
可得GM=gR²
A、飞行器绕月运行时万有引力提供圆周运动向心力有：$G\frac{mM}{（R+h）^{2}}=m（R+h）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，可得T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{GM}}$=$2π\sqrt{\frac{（R+h）^{3}}{g{R}^{2}}}$，故A错误；
B、在飞行器工作轨道处的重力加速度g$′=\frac{GM}{（R+h）^{2}}=g\frac{{R}^{2}}{（R+h）^{2}}$，故B正确；
C、飞行器工作轨道上的绕行速度满足$G\frac{mM}{（R+h）^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R+h}$即v=$\sqrt{\frac{GM}{R+h}}=\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{R+h}}$，故C错误；
D、月球的密度$ρ=\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}=\frac{g{R}^{2}}{G\frac{4}{3}π{R}^{3}}=\frac{3g}{4GπR}$，故D正确．
本题选择错误的是，故选：AC．

点评 万有引力提供圆周运动向心力和万有引力与星球表面重力相等是解决此类问题的主要入手点，关键是掌握相关公式及公式变换．