Question

6．太阳糸各行星可近似看成在同一平面内沿同一方向绕太阳做匀速圆周运动．设天王星公转周期为T₁，公转半径为R₁；地球公转周期为T₂，公转半径为R₂．不计两行星之间的引力作用，万有引力常量为G，当地球和天王星运行到太阳两侧，且三者排成一条直线时，下列说法正确的是（　　）

• A． 太阳的质量为$\frac{{4{π^2}R_1^2}}{GT_2^2}$
• B． 天王星公转速度大于地球公转速度
• C． 地球与天王相距最近至少需经历$\frac{{{T_1}{T_2}}}{{2（{{T_1}-{T_2}}）}}$
• D． 天王星公转的向心加速度与地球公转的向心加速度之比为$\frac{R_1^2}{R_2^2}$

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力，结合天王星的轨道半径和周期求出太阳的质量．根据轨道半径的大小比较线速度的大小以及向心加速度之比．地球与天王星相距最近，两者转过的角度相差π，根据周期的大小求出经历的时间．

解答 解：A、根据$G\frac{Mm}{{{R}_{1}}^{2}}=m{R}_{1}\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{1}}^{2}}$得，太阳的质量M=$\frac{4{π}^{2}{{R}_{1}}^{3}}{G{{T}_{1}}^{2}}$，故A错误．
B、根据$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}=ma$，解得v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$，因为天王星的轨道半径较大，则线速度较小．天王星和地球的向心加速度之比为$\frac{{{R}_{2}}^{2}}{{{R}_{1}}^{2}}$．故B、D错误．
C、当地球和天王星运行到太阳两侧，三者排成一条直线，到地球与天王星相距最近，两者转过的角度相差π，所以$\frac{2π}{{T}_{2}}t-\frac{2π}{{T}_{1}}t=π$，解得t=$\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{2（{T}_{1}-{T}_{2}）}$．故C正确．
故选：C．

点评 本题要知道地球和天王星的最远距离和最近距离是它们在一条连线上时，由几何关系结合周期关系求解时间．掌握万有引力提供向心力这一重要理论，并能灵活运用．