Question

【题目】如图所示，半径为R的四分之一光滑圆形固定轨道右端连接一光滑的水平面，质量为M=3m的小球Q连接着轻质弹簧静止在水平面上，现有一质量为m的滑块P（可看成质点）从B点正上方h=R高处由静止释放，重力加速度为g．求：

（1）滑块到达圆形轨道最低点C时的速度大小和对轨道的压力；
（2）在滑块压缩弹簧的过程中，弹簧具有的最大弹性势能；
（3）若滑块从B上方高H处释放，恰好使滑块经弹簧反弹后能够回到B点，则高度H的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：滑块P从A运动到C过程，根据机械能守恒得

mg（h+R）=

又h=R，代入解得 vC=2

在最低点C处，对滑块，根据牛顿第二定律有：FN﹣mg=m

解得轨道对滑块P的支持力 FN=5mg

根据牛顿第三定律知滑块P对轨道的压力大小为5mg，方向竖直向下．

答：滑块到达圆形轨道最低点C时的速度大小是2 ，对轨道的压力大小为5mg，方向竖直向下．

（2）弹簧被压缩过程中，当两球速度相等时，弹簧具有最大弹性势能，根据系统动量守恒有：mvC=（m+M）v

根据机械能守恒定律有 =EPm+

联立解得 EPm= mgR

答：在滑块压缩弹簧的过程中，弹簧具有的最大弹性势能是 mgR．

（3）滑块P从B上方高h处释放，到达水平面速度为v0，则有

mg（H+R）= mv02．

弹簧被压缩后再次恢复到原长时，设滑块P和Q的速度大小分别为v1和v2，根据动量守恒有：mv0=﹣mv1+Mv2

根据机械能守恒有 mv02= mv12+ Mv22

要使滑块P经弹簧反弹后恰好回到B点，则有 mgR= mv12

联立解得 H=3R

答：高度H的大小是3R．

【解析】（1）滑块P从A运动到C的过程，根据机械能守恒求解到达C点时的速度．在最低点C处，做匀速圆周运动的物体合力提供向心力，求轨道对滑块的支持力，结合牛顿第三定律求解滑块对轨道的压力；
（2）弹簧被压缩过程中，可以利用追击相遇模型当滑块小球距离最小时，滑块和小球速度相等，弹簧具有最大弹性势能，以向右为正，根据系统动量守恒结合机械能守恒定律列式求解；
（3）滑块P从B上方高h处释放，根据动能定理求出到达水平面的速度，弹簧被压缩后再次恢复到原长得过程中，根据动量守恒定律以及机械能守恒定律列式，P球经弹簧反弹后恰好回到B点得过程中，根据动能定理列式，联立方程求解．