Question

9．如图，上端开口的竖直气缸由大、小两个同轴圆筒组成，两圆筒中各有一个活塞，两活塞用刚性轻杆连接，两活塞间充有氧气，小活塞下方充有氮气．已知大活塞的质量为2m、横截面积为2S，小活塞的质量为m、横截面积为S，两活塞间距为L，大活塞导热性能良好，气缸及小活塞绝热，初始时氮气和气缸外大气的压强均为p₀，氮气的温度为T₀，大活塞与大圆筒底部相距为$\frac{L}{2}$，小活塞与小圆筒底部相距为L．两活塞与气缸壁之间的摩擦不计，重力加速度为g．现通过电阻丝缓慢加热氮气，当小活塞缓慢上升至上表面与大圆筒底部平齐时，求
①两活塞间氧气的压强；
②小活塞下方氮气的温度．

Answer 1

分析 ①以两活塞整体为研究对象，根据受力平衡求出初始时氧气的压强，由几何关系求出初末状态的体积，根据玻意耳定律即可求出当小活塞缓慢上升至上表面与大圆筒底部平齐时两活塞间氧气的压强；
②当小活塞缓慢上升至上表面与大圆筒底部平齐时，对两活塞整体为研究对象，求出氮气的压强，以氮气为研究对象，列出初末状态的状态参量，根据理想气体状态方程即可求解氮气末状态的温度；

解答 解：①以两活塞整体为研究对象，设初始时氧气压强为p₁，根据平衡条件有：
p₀S+3mg=p₁S
${p_1}={p_0}+\frac{3mg}{s}$
初始时氧气体积为：
V₁=2S+S•$\frac{L}{2}$=$\frac{3SL}{2}$          
当小活塞缓慢上升至上表面与大圆筒底部平齐时，氧气体积为：
V₂=2SL
由于大活塞导热，小活塞缓慢上升可认为氧气温度不变，设此时氧气压强为p₂，由玻意耳定律得：
p₂V₂=p₁V₁                                     
联立解得氧气的压强：${p_2}=\frac{3}{4}{p_0}+\frac{9mg}{4s}$
②设此时氮气压强为p，温度为T，根据平衡条件有：
p₀•2S+3mg=p₂S+pS                          
得：p=$\frac{5}{4}$p₀+$\frac{3mg}{4S}$
根据理想气体状态方程有：
$\frac{{{p_0}•Ls}}{T_0}=\frac{{p•\frac{3}{2}Ls}}{T}$
联立得：$T=（\frac{15}{8}+\frac{9mg}{{8{p_0}s}}）{T_0}$
答：①两活塞间氧气的压强$\frac{3}{4}{p}_{0}^{\;}+\frac{9mg}{4S}$；
②小活塞下方氮气的温度$（\frac{15}{8}+\frac{9mg}{8{p}_{0}^{\;}S}）{T}_{0}^{\;}$

点评 解答本题的关键是分析清楚气体状态变化过程、应用玻意耳定律和气体状态方程结合平衡条件进行求解．