Question

11．一辆质量m=2.0t的小轿车，驶过半径R=100m的一段圆弧形桥面，重力加速度g=10m/s²．求：
（1）若桥面为凹形，汽车以20m/s的速度通过桥面最低点时，对桥面压力是多大？
（2）若桥面为凸形，汽车以20m/s的速度通过桥面最高点时，对桥面压力是多大？
（3）汽车以多大速度通过凸形桥面顶点时，对桥面刚好没有压力？

Answer 1

分析 在凹形桥的最低点和凸形桥的最高点，靠竖直方向上的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出支持力的大小，从而得出汽车对桥面的压力．
当压力为零时，靠重力提供向心力，根据牛顿第二定律求出汽车的速度．

解答 解：（1）汽车通过凹形桥面最低点时，由牛顿第二定律：N₁-mg=$m\frac{v^2}{R}$
解得：N₁=$m\frac{v^2}{R}$+mg=（2 000×$\frac{{{{20}^2}}}{100}$+2 000×10）N=2.8×10⁴ N
根据牛顿第三定律，汽车对桥面最低点的压力大小是2.8×10⁴ N．
（2）汽车通过凸形桥面最高点时，mg-N₂=$m\frac{v^2}{R}$
解得：N₂=mg$-m\frac{v^2}{R}$=（2 000×10-2 000×$\frac{{{{20}^2}}}{100}$）N=1.2×10⁴ N
根据牛顿第三定律，汽车在桥的顶点时对桥面压力的大小为1.2×10⁴ N．
（3）汽车通过凸形桥面顶点时对桥面压力为零时．由牛顿第二定律mg=$m\frac{v_m^2}{R}$
解得：v_m=$\sqrt{gR}=\sqrt{10×100}=10\sqrt{10}$m/s．
答：（1）若桥面为凹形，汽车以20m/s的速度通过桥面最低点时，对桥面压力是2.8×10⁴ N；
（2）若桥面为凸形，汽车以20m/s的速度通过桥面最高点时，对桥面压力是1.2×10⁴ N．
（3）汽车以10$\sqrt{10}$m/s速度通过凸形桥面顶点时，对桥面刚好没有压力．

点评 解决本题的关键知道凹形桥最低点和凸形桥最高点向心力的来源，结合牛顿第二定律进行求解，难度不大．