Question

16．如图（甲）所示，在竖直向下的匀强磁场中，有两根水平放置的平行导轨，导轨的间距为 L，左端连接有阻值为 R的电阻．有一质量为 m的导体棒ab垂直放置在导轨上，距导轨左端恰好为L．导轨所在空间存在方向竖直向下的匀强磁场，不计导轨和导体棒的电阻，棒与导轨间的摩擦可忽略．
（1）若在一段时间t₀内，磁场的磁感应强度从0开始随时间t均匀增大，t₀时刻，B=B₀，如图（乙）所示．在导体棒ab上施加一外力，保持其静止不动，求：
a．这段时间内棒中的感应电流的大小和方向；
b．在$\frac{t_0}{2}$时刻施加在棒上的外力的大小和方向．
（2）若磁场保持B=B₀不变，如图（丙）所示，让导体棒ab以初速度v₀ 向右滑动，棒滑行的最远距离为 s．试推导当棒滑行的距离为λs时（0＜λ＜1），电阻R上消耗的功率P=$\frac{{B_0^2L^2{（1-λ）}^2v_0^2}}{R}$．

Answer 1

分析 （1）a、在0～t₀时间内，B均匀增大，回路的磁通量均匀增大，产生恒定的感应电动势和感应电流，由法拉第电磁感应定律和欧姆定律结合求解感应电流的大小，由楞次定律判断感应电流的方向．
b、由于棒处于静止状态，外力与安培力平衡，求出安培力，再由平衡条件求解即可．
（2）磁场保持B=B₀不变，导体棒向右做变减速运动，取极短时间，根据动量定理列式得到安培力的冲量与动量变化量的关系，由积分法得到导体棒的末速度与初速度的关系式，再由法拉第电磁感应定律和欧姆定律、功率公式结合答题．

解答 解：（1）a．在0～t₀时间内  $E=\frac{△φ}{△t}=\frac{△B}{△t}•S=\frac{B_0}{t_0}•{L^2}$
ab棒上感应电流  $I=\frac{E}{R}=\frac{{{B_0}{L^2}}}{{R{t_0}}}$
由楞次定律知，棒中感应电流的方向b→a．
b．在0～t₀时间导体棒ab静止，所以F_外=F_A，方向与安培力反向．
棒受到的安培力 F_A=BIL　　
在$\frac{t_0}{2}$时刻，$B=\frac{B_0}{2}$，所以 F_A=$\frac{B_0}{2}•\frac{{{B_0}{L^2}}}{{R{t_0}}}•L$，安培力方向水平向左．
所以外力大小为  F_外=$\frac{{B_0^2{L^3}}}{{2R{t_0}}}$，方向水平向右．
（2）设经时间t，棒滑行的距离为x，速度变为v．
由法拉第电磁感应定律，此时的感应电动势E=B₀Lv
感应电流 $I=\frac{E}{R}$
棒受到的安培力F_A=B₀IL，即 ${F_A}=\frac{B_0^2L^2v}{R}$
将时间t分为n小段，设第i小段时间间隔为△t，ab棒在此段时间间隔的位移为△x，规定向右的方向为正，由动量定理
-F_A△t=m△v$-\frac{B_0^2L^2v}{R}△t=m△v$
又    v△t=△x
所以 $-\frac{B_0^2L^2}{R}△x=m△v$
在整个过程中  $\sum{-\frac{B_0^2L^2}{R}}△x=\sum{m△v}$
即  $-\frac{B_0^2L^2}{R}\sum{△x}=\sum{m△v}$$-\frac{B_0^2L^2}{R}x=m（v-{v_0}）$
当x=s时，v=0，有$\frac{B_0^2L^2}{R}s=mv0$
当x=λs时，$\frac{B_0^2L^2}{R}λs=m（v0-v）$
解得  v=v₀（1-λ）　
此时产生的感应电动势E=B₀Lv=B₀Lv₀（1-λ）
此时电阻R上消耗的功率 $P=\frac{E^2}{R}=\frac{{B_0^2L^2{（1-λ）}^2v_0^2}}{R}$
答：
（1）a．这段时间内棒中的感应电流的大小为$\frac{{B}_{0}{L}^{2}}{R{t}_{0}}$，方向b→a；
b．在$\frac{t_0}{2}$时刻施加在棒上的外力的大小为$\frac{{B_0^2{L^3}}}{{2R{t_0}}}$，方向水平向右；
（2）推导如上．

点评 解决本题的关键是运用动量定理列式，得到变减速运动的末速度与初速度的关系，如动量定理没学过，可运用牛顿第二定律和加速度的定义式a=$\frac{△v}{△t}$结合解答．