Question

3．一个静止的光滑的$\frac{1}{4}$圆弧轨道正好与质量为M的小车相衔接，一个质量为m的小物体从圆弧轨道的顶部由静止滑下，在小车上前进ts后与小车相对静止，这时小车前进了sm远，若小车是放在光滑水平面上的，m与小车间有恒定的摩擦力，如图所示，求：
（1）物体m在小车上滑行多远？
（2）圆弧轨道半径R多大？

Answer 1

分析 （1）m滑上M后做匀减速直线运动，M做匀加速直线运动，根据匀变速直线运动基本公式结合牛顿第二定律求解物体m在小车上滑行的位移以及小物体的初速度；
（2）小物体下滑过程中，根据动能定理列式求解R．

解答 解：（1）m滑上M后做匀减速直线运动，M做匀加速直线运动，设共同速度为v，小车的加速度为a，
对M有：$\frac{v}{2}t=s$，解得：v=$\frac{2s}{t}$，
$s=\frac{1}{2}a{t}^{2}$，解得：a=$\frac{2s}{{t}^{2}}$，
根据牛顿第二定律得：f=Ma=$\frac{2sM}{{t}^{2}}$，
则小物体的加速度${a}_{1}=\frac{f}{m}=\frac{2sM}{{mt}^{2}}$，
则小物体的初速度${v}_{0}=v+{a}_{1}t=\frac{2s（M+m）}{mt}$，
这段时间内滑块的位移$x=\frac{v+{v}_{0}}{2}t=\frac{s（M+2m）}{m}$，
所以物体m在小车上滑行的位移△x=x-s=$\frac{s（M+m）}{m}$
（2）小物体下滑过程中，根据动能定理得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=mgR$
解得：R=2$\frac{{s}^{2}（M+m）^{2}}{g{m}^{2}{t}^{2}}$
答：（1）物体m在小车上滑行的距离为$\frac{s（M+m）}{m}$；
（2）圆弧轨道半径R为2$\frac{{s}^{2}{（M+m）}^{2}}{g{m}^{2}{t}^{2}}$．

点评 本题主要考查了运动学基本公式以及牛顿第二定律的直接应用，要求同学们能正确分析物体的受力情况和运动情况，难度适中．