Question

2．如图（a）所示，在直角坐标系0≤x≤L区域内有沿y轴正方向的匀强电场，右侧有一 个以点（3L，0）为圆心，半径为L的圆形区域，圆形区域与x轴的交点分别为M、N．现有一质量为m，带电量为e的电子，从y轴上的A点以速度v₀沿X轴正方向射入电场，飞出电场后恰能从M点进人圆形区域，速度方向与X轴夹角为30°，此时圆形区域加如图（b）所示周期 性变化的磁场（磁场从t=0时刻开始变化，且以垂直于纸面向外为正方向），电子运动一段时间后最后从N点飞出，速度方向与X轴夹角也为30°．求：

（1）电子进人圆形区域时的速度大小；
（2）在0≤x≤L区域内匀强电场的场强大小；
（3）圆形区域磁场的变化周期T、磁感应强度B0的表达式．

Answer 1

分析 电子在电场中只受电场力，做类平抛运动．将速度分解，可求出电子进入圆形磁场区域时的速度大小．
根据类平抛运动的规律，结合牛顿定律求出场强E的大小．
电子在磁场中，洛伦兹力提供向心力，做匀速圆周运动．分析电子进入磁场的速度方向与进入磁场时的速度方向相同条件，根据圆的对称性，由几何知识得到半径，周期T各应满足的表达式．

解答 解：（1）电子在电场中作类平抛运动，离开电场时，
由速度关系：$\frac{{v}_{0}}{v}=cos30°$，
解得v=$\frac{2\sqrt{3}{v}_{0}}{3}$．
（2）由速度关系得，${v}_{y}={v}_{0}tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}{v}_{0}$，
在竖直方向，a=$\frac{eE}{m}$，${v}_{y}=at=\frac{eE}{m}•\frac{L}{{v}_{0}}$，
解得$E=\frac{\sqrt{3}m{{v}_{0}}^{2}}{3eL}$．
（3）在磁场变化的半个周期内，电子的偏转角为60°，如图所示，电子在x轴方向上的位移等于R，电子到达N点而且速度符合要求的条件是：$\overline{MN}=nR=2L$，
电子在磁场做圆周运动的轨道半径R=$\frac{mv}{e{B}_{0}}$=$\frac{2\sqrt{3}m{v}_{0}}{3e{B}_{0}}$，
解得${B}_{0}=\frac{n\sqrt{3}m{v}_{0}}{3eL}$，（n=1，2，3，…）
若电子在磁场变化的半个周期恰好转过$\frac{1}{6}$圆周，同时MN间运动时间是磁场变化半周期的整数倍，可使电子到达N点并且速度满足题设要求，则：
$\frac{T}{2}=\frac{{T}_{圆}}{6}$，T=$\frac{1}{3}{T}_{圆}=\frac{2πm}{3e{B}_{0}}$，
代入B₀的表达式得，T=$\frac{2\sqrt{3}πL}{3n{v}_{0}}$，（n=1，2，3…）
答：（1）电子进人圆形区域时的速度大小为$\frac{2\sqrt{3}}{3}{v}_{0}$；
（2）在0≤x≤L区域内匀强电场的场强大小为$\frac{\sqrt{3}m{{v}_{0}}^{2}}{3eL}$；
（3）圆形区域磁场的变化周期T、磁感应强度B₀的表达式分别为T=$\frac{2\sqrt{3}πL}{3n{v}_{0}}$，（n=1，2，3…）、${B}_{0}=\frac{n\sqrt{3}m{v}_{0}}{3eL}$，（n=1，2，3，…）．

点评 本题带电粒子在组合场中运动，分别采用不同的方法：电场中运用运动的合成和分解，磁场中圆周运动处理的基本方法是画轨迹．所加磁场周期性变化时，要研究规律，得到通项．