Question

12．如图所示，虚线框abcd内为边长均为L的正形匀强电场和匀强磁场区域，电场强度的大小为E，方向向下，磁感应强度为B，方向垂直纸面向外，PQ为其分界线，现有一群质量为m，电荷量为-e的电子（重力不计）从PQ中点与PQ成30°．角以不同的初速射入磁场，求：
（1）能从PQ边离开磁场的电子在磁场运动的时间．
（2）若要电子在磁场运动时间最长，其初速v应满足的条件？
（3）若电子在满足（2）中的条件下且以最大速度进入磁场，最终从电场aP边界飞出虚线框所具有的动能E_k．

Answer 1

分析 （1）根据粒子在磁场中做圆周运动的圆心角，结合周期公式求出电子在磁场中运动的时间．
（2）电子在磁场中做匀速圆周运动，画出运动轨迹图，根据几何知识求半径和初速度v应满足的条件．
（3）电子在电场中做类平抛运动，电场力做功，由动能定理即可列式求解．

解答 解：（1）由洛仑兹力充当向心力：eBv=m$\frac{{v}^{2}}{r}$  ①
电子在磁场中运动的周期：T=$\frac{2πr}{v}$    ②
联立①②解得；T=$\frac{2πm}{qB}$．
能从PQ边进入电场（如图）．粒子在匀强磁场中运动时间为t，由图知
t=$\frac{5}{6}$T    ③
解得：t=$\frac{5πm}{3eB}$．
（2）当电子轨迹与Pb边相切时，有满足条件的最大速度v，由几何关系知其轨道半径r满足

r+rsin30°=$\frac{L}{2}$      ④
解得r=$\frac{L}{3}$
洛仑兹力充当向心力：eBv=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
联立①④解得v=$\frac{eBL}{2m（1+sin30°）}=\frac{eBL}{3m}$．
因此，当v≤$\frac{eBL}{3m}$时，电子在磁场运动有最长时间．
（3）以最大速度v进入电场，且从aP边飞出时电子有最大动能E_KM，由动能定理：
eE（$\frac{L}{2}-\frac{L}{3}$）=E_km-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$          ⑥
解得E_km=$\frac{1}{6}eEL+\frac{{e}^{2}{B}^{2}{L}^{2}}{18m}$．
答：（1）能从PQ边离开磁场的电子在磁场运动的时间为$\frac{5πm}{3eB}$．
（2）若要电子在磁场运动时间最长，其初速v应满足的条件为v≤$\frac{eBL}{3m}$．
（3）最终从电场aP边界飞出虚线框所具有的动能为$\frac{1}{6}eEL+\frac{{e}^{2}{B}^{2}{L}^{2}}{18m}$．

点评 本题主要考查了带电粒子在混合场中运动的问题，要求同学们能正确分析粒子的受力情况，再通过受力情况分析粒子的运动情况，熟练掌握圆周运动及平抛运动的基本公式，难度适中．