Question

2．如图所示，一条水平传送带两个顶点A、B之间的距离为L=10m，配有主动轮O₁和从动轮O₂构成整个传送装置，轮与传送带不打滑，轮半径为R=0.32m，现用此装置运送一袋面粉，已知这袋面粉与传送带之间的摩擦力因数为μ=0.5，g=10m/s²．
（1）当传送带以5.0m/s的速度匀速运动时，将这袋面粉由A点轻放在传送带上后，这袋面粉由A端运B端所用时间为多少？
（2）要想尽快将这袋面粉由A端运到B端（设面袋的初速度为零），主动轮O₁的转速至少应为多大？
（3）由于面粉的渗漏，在运送这袋面粉的过程中会在深色传送带上留下白色的面粉的痕迹，若这袋面粉在传送带上留下的痕迹布满整条传送带时（设面袋的初速度为零），则主动轮的转速应满足何种条件？

Answer 1

分析 （1）面粉在传送带上先做匀加速直线运动，当速度达到传送带速度后一起做匀速直线运动，结合牛顿第二定律和运动学公式，求出面粉由A端运送到B端所用的时间．
（2）要想时间最短，面粉袋应一直做匀加速运动，根据运动学公式求出传送带的最小速度，从而根据v=ωR=2πnR求出主动轮Q₁转速的最小值．
（3）传送带的速度越大，“痕迹”越长．当面粉的痕迹布满整条传送带时，痕迹达到最长．痕迹的长度等于相对路程的大小，通过面粉袋的位移求出传送带的位移，通过时间求出主动轮的最小速度，从而求出转速的最小值，从而得到主动轮的转速应满足的条件．

解答 解：（1）设面粉的质量为m，其在与传送带产生相对滑动的过程中所受的摩擦力为：f=μmg
故其匀加速运动的加速度为：a=$\frac{μmg}{m}$=μg=5.0 m/s²．
若传送带的速度为：v_带=5.0 m/s，则面粉匀加速运动的时间为：t₁=$\frac{{v}_{带}}{a}$=$\frac{5}{5}$s=1.0 s
在t₁时间内面粉的位移为：s₁=$\frac{1}{2}$at₁²=$\frac{1}{2}×5×{1}^{2}$=2.5 m
其后以v=5.0 m/s的速度做匀速运动，位移为：s₂=l_AB-s₁=vt₂
解得：t₂=1.5 s
故这袋面粉运动的总时间为：t=t₁+t₂=2.5 s．
（2）要想时间最短，面粉袋应一直向B端做加速运动，由 l_AB=$\frac{1}{2}$at′²
可得：t′=2.0 s
此时传送带的运转速度最小为：v′=at′=5×2=10 m/s
由v=ωr=2πnR可得：转速的最小值 n=300 r/min（或5 r/s）．
（3）传送带的速度越大，“痕迹”越长．当面粉的痕迹布满整条传送带时，痕迹达到最长．即痕迹 长△s=2L+2πR=20+2×3.14×0.32≈22.0 m
在面粉袋由A端运动到B端的时间内，传送带运转的距离 s_带=△s+l_AB=22.0+10.0=32.0 m
又由（2）已知t′=2.0 s，故而有：2πn′R≥$\frac{s}{t}$
则：n′≥480 r/min（或8r/s）．
答：（1）这袋面粉由A端运送到Q₁正上方的B端所用的时间为2.5s．
（2）转速的最小值是300 r/min．
（3）主动轮的转速应满足的条件是 n′≥480 r/min．

点评 解决本题的关键理清面粉袋的运动情况，结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解，同时要注意把握隐含的临界状态：速度相等．