Question

1．如图所示，在x轴上方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子X第一次从x轴上的P₁点以一定的速度进入磁场，已知粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与x轴正方向成60°角，粒子穿过y轴正半轴的P₂点时方向沿-x方向，粒子X从x轴上的P₃点离开磁场，该带电粒子X第二次以相同的速度仍从P₁点进入磁场，经过P₂点时与一个静止的不带电的粒子Y发生正碰并立即结合为一个整体Z继续运动，离开磁场时经过x轴上的P₄点，已知粒子X和粒子Y质量均为m，两个粒子的重力均不计，求：
（1）两次粒子离开磁场的位置P₃、P₄之间的距离d；
（2）粒子第一次与第二次在磁场中运动时间之比．

Answer 1

分析 （1）根据动量守恒求得粒子Z的质量、电荷、速度；然后由洛伦兹力作向心力分别求得粒子X、Z运动的半径，进而根据几何关系求得距离；
（2）由（1）求得粒子转过的中心角，再分别求得粒子运动的周期即可求得运动时间之比．

解答 解：（1）粒子X在磁场中运动，洛伦兹力作向心力，有：$Bvq=\frac{m{v}^{2}}{R}$，解得：$R=\frac{mv}{Bq}$，如图所示

P₃的坐标为$（-\frac{\sqrt{3}}{2}R，0）$；
X与一个静止的不带电的粒子Y发生正碰并立即结合为一个整体Z继续运动，应用动量守恒，则Z的质量为2m，速度为$\frac{1}{2}v$，电量为q，
所以，Z做圆周运动的半径为：$r=\frac{2m×\frac{1}{2}v}{Bq}=R$，
所以，Z的运动轨迹和X的相同，那么P₃，P₄重叠，所以d=0；
（2）由（1）可知：粒子第一次为X在磁场中转过240°，粒子第二次位X转过120°，Z转过120°；
粒子X在磁场中运动的周期为：${T}_{X}=\frac{2πR}{v}=\frac{2πm}{Bq}$，
Z在磁场中运动的周期为：${T}_{Z}=\frac{2πR}{\frac{1}{2}v}=2{T}_{X}$；
所以，粒子第一次与第二次在磁场中运动时间之比为：
$\frac{\frac{240°}{360°}{T}_{X}}{\frac{120°}{360°}{T}_{X}+\frac{120°}{360°}{T}_{Z}}=\frac{2×1}{1×1+1×2}=\frac{2}{3}$；
答：（1）两次粒子离开磁场的位置P₃、P₄之间的距离d为零；
（2）粒子第一次与第二次在磁场中运动时间之比为$\frac{2}{3}$．

点评 粒子做圆周运动时，粒子速度与径向垂直．在求解带电粒子在磁场中的运动问题时，常用来联立其他几何条件求解半径．