Question

13．如图所示，在0≤x≤b、0≤y≤a的长方形区域中有一磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场的方向垂直于xOy平面向外．O处有一粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xOy平面内的第一象限内．已知粒子在磁场中做圆周运动的周期为T，最先从磁场上边界飞出的粒子经历的时间为$\frac{T}{12}$，最后从磁场中飞出的粒子经历的时间为$\frac{T}{4}$，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，则（　　）

• A． 粒子射入磁场的速率v=$\frac{2qBa}{m}$
• B． 粒子圆周运动的半径r=2a
• C． 长方形区域的边长满足关系$\frac{b}{a}$=$\sqrt{3}$+1
• D． 长方形区域的边长满足关系$\frac{b}{a}$=2

Answer 1

分析 由最先从磁场上边界飞出的粒子经历的时间为$\frac{T}{12}$求得粒子半径，再根据半径求得速率；并由最后从磁场中飞出的粒子经历的时间为$\frac{T}{4}$求得磁场区域边长关系．

解答 解：粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力作向心力，则有：$Bvq=\frac{m{v}^{2}}{R}$，所以，$R=\frac{mv}{Bq}$；
B、粒子在磁场中做圆周运动的半径相等，所以，粒子做圆周运动的弦长越长，则其对应的中心角越大，运动时间越长；
最先从磁场上边界飞出的粒子经历的时间为$\frac{T}{12}$，则其对应的弦长最短，即出射点的x坐标最小，则粒子入射速度为y轴正方向；
运动时间为$\frac{T}{12}$，则其对应的中心角为30°，则如图所示，，所以，$R=\frac{a}{sin30°}=2a$，故B正确；
A、由$R=\frac{mv}{Bq}=2a$可得：$v=\frac{2qBa}{m}$，故A正确；
CD、最后从磁场中飞出的粒子经历的时间为$\frac{T}{4}$，对应于最大中心角为90°，弦长为$2\sqrt{2}a$；
若b较小，粒子可以从右上顶点射出，则此时有${a}^{2}+{b}^{2}=（2\sqrt{2}a）^{2}$，所以，$b=\sqrt{7}a$；
若b较大，最后飞出的粒子运动轨迹与上边界相切，如图所示，，从O点到与上边界相切时转过了60°，所以，粒子出射点在右边界，不在x轴上，再由几何关系可知：$b=（\sqrt{3}+1）a$，故C正确，D错误．
故选：ABC．

点评 在半径相同的圆弧上，弦长越长，其对应的中心角越大．在带电粒子在磁场中的运动问题中，常根据此求得临界条件进而得到半径．