Question

2．位于竖直平面内的光滑轨道，有一段斜的直轨道和与之相切的圆形轨道连接，圆形轨道的半径为R，一质量为m的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆轨道运动，
（1）要求物块能通过圆轨道最高点，求物块初始位置相对圆形轨道底部的高度h；
（2）若要求小物块在该轨道最高点与轨道间的压力不超过5mg，求物块初始位置相对圆形轨道底部的高度H．

Answer 1

分析 （1）物块恰好能通过圆形轨道最高点时，由重力提供向心力，由牛顿第二定律求得最高点的临界速度，再根据机械能守恒定律求解．
（2）以物块为研究对象，根据牛顿第二定律求出最高点的速度，再机械能守恒求解H．

解答 解：（1）设从高度h₁处开始下滑，恰能以v₁通过圆周轨道最高点．
在圆轨道最高点有：mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$…①
由机械能守恒得：mgh₁=mg•2R+$\frac{1}{2}$mv₁²…②
由①②式得：h₁=2.5R，所以高度h至少要2.5R．
（2）设从高度h₂处开始下滑，过圆周最高点时速度为v₂，滑块在最高点与轨道间的压力是5mg，
在最高点由牛顿第二定律得：5mg+mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$…③
由机械能守恒定律得：mgH=mg•2R+$\frac{1}{2}$mv₂²…④
由③④式得：H=5R；
所以物块初始位置相对圆形轨道底部的高度H应满足：2.5R≤H≤5R．
答：（1）h≥2.5R时物块能通过圆形轨道最高点；
（2）物块初始位置相对圆形轨道底部的高度H应满足2.5R≤H≤5R．

点评 解决本题的关键要明确圆周运动最高点的临界条件：重力等于向心力．对于轨道光滑的情形，往往根据机械能守恒定律求高度．