Question

10．三颗卫星都在赤道平面内绕地球做匀速圆周运动，它们的轨道半径分别为r₁、r₂、r₃，且r₁＞r₂＞r₃，r₂为同步卫星的轨道半径，三颗卫星在运动过程受到的向心力大小相等，则（　　）

• A． 经过相同的时间，卫星1通过的路程最大
• B． 三颗卫星中，卫星1的质量最大
• C． 三颗卫星中，卫星1的加速度最大
• D． 卫星3的周期小于24小时

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力可得$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$，解得$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$；而万有引力${F}_{万}^{\;}=G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}$可求得各个卫星的质量大小关系，从而根据${F}_{万}^{\;}=ma$求出三颗卫星的加速度大小关系，根据万有引力提供向心力可得$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$，可得卫星运动的周期$T=2π\sqrt{\frac{{r}_{\;}^{3}}{GM}}$，显然轨道半径越大，卫星运动的周期越大，从而确定三颗卫星的周期大小关系．

解答 解：A、根据万有引力提供向心力可得$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$，解得$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，由于${r}_{1}^{\;}＞{r}_{2}^{\;}＞{r}_{3}^{\;}$，故${v}_{1}^{\;}＜{v}_{2}^{\;}＜{v}_{3}^{\;}$，故在相同时间内卫星1通过的路程最小，故A错误；
B、由${F}_{万}^{\;}=G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}$可得，在向心力大小相等的情况下，由于${r}_{1}^{\;}＞{r}_{2}^{\;}＞{r}_{3}^{\;}$，故${m}_{1}^{\;}＞{m}_{2}^{\;}＞{m}_{3}^{\;}$，故B正确；
C、由${F}_{万}^{\;}=ma$，由于万有引力相等，而${m}_{1}^{\;}＞{m}_{2}^{\;}＞{m}_{3}^{\;}$，故${a}_{1}^{\;}＜{a}_{2}^{\;}＜{a}_{3}^{\;}$，即卫星1的加速度最小，故C错误；
D、根据万有引力提供向心力可得$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$，可得卫星运动的周期$T=2π\sqrt{\frac{{r}_{\;}^{3}}{GM}}$，显然轨道半径越大，卫星运动的周期越大，故卫星3的周期小于卫星2的周期，而卫星2的周期为24h，故卫星3的周期小于24h，故D错误；
故选：BD

点评 只要掌握了万有引力提供向心力的几种不同的表达形式即可顺利此类问题．