Question

12．一质量为m的行星以某恒星为中心天体旋转，与恒星距离为r，周期为T，则行星的线速度为$\frac{2πr}{T}$，恒星的质量为$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$，若该恒星半径为R，则恒星的密度为$\frac{3π{r}^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$．

Answer 1

分析 根据线速度与周期的关系求出线速度的大小，根据万有引力提供向心力，结合轨道半径和周期求出恒星的质量，结合恒星的体积求出恒星的密度．

解答 解：行星的线速度$v=\frac{2πr}{T}$．
根据$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，解得恒星的质量M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$．
恒星的密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}$=$\frac{3π{r}^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$．
故答案为：$\frac{2πr}{T}$，$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$，$\frac{3π{r}^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一重要理论，并能灵活运用，知道线速度与周期的关系，基础题．