Question

17．游乐场的过山车的运行过程可以抽象为如图所示模型．弧形轨道的下端与圆轨道相接，使小球从弧形轨道上端A点静止滑下，进入圆轨道后沿圆轨道运动，最后离开．试分析
（1）A点离地面的高度h至少要多大，小球才可以顺利通过圆轨道最高点（已知圆轨道的半径为R，重力加速度为g，不考虑摩擦等阻力）．
（2）若小球恰能过圆轨道最高点，求小球过圆轨道最低点时对轨道的压力．
（3）实际的过山车，由于轨道摩擦阻力的存在，释放点A的高度h比理论值要大些．若h=3.5R时，过山车恰好顺利通过圆轨道最高点，那么，过山车从A点运动到圆轨道最高点的过程中克服摩擦阻力做的功是多少？

Answer 1

分析 （1）要使小球能够通过圆轨道最高点，那么小球在最高点时恰好由其重力作为向心力，由向心力的公式可以求得此时的最小速度，再由机械能守恒可以求得A点离地面的高度h．
（2）由机械能守恒定律求出小球通过最低点时的速度，由牛顿运动定律求小球过圆轨道最低点时对轨道的压力．
（3）由A点到圆轨道最高点的全过程，运用动能定理列式求解即可．

解答 解：（1）小球要能通过圆轨道最高点，则在圆轨道最高点恰好由重力提供向心力，即
  mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
得：v=$\sqrt{gR}$
小球由A点到圆弧最高点的过程中，由机械能守恒定律得
 mgh=mg•2R+$\frac{1}{2}$mv²
联立以上各式解得h=2.5R
（2）到最低点的速度假设为v₁．由机械能守恒定律得：
  mg•2.5R=$\frac{1}{2}$m${v}_{1}^{2}$
又在最低点，有 F_N-mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
解得F_N=6mg
由牛顿第三定律可得，小球对轨道的压力大小为6mg．方向竖直向下．
（3）由A点到圆轨道最高点全程，应用动能定理得：
 mg（3.5R-2R）-W_Ff=$\frac{1}{2}$mv²
而v=$\sqrt{gR}$
可得W_Ff=mgR
答：
（1）A点离地面的高度h至少要2.5R，小球才可以顺利通过圆轨道最高点．
（2）若小球恰能过圆轨道最高点，小球过圆轨道最低点时对轨道的压力大小为6mg．方向竖直向下．
（3）过山车从A点运动到圆轨道最高点的过程中克服摩擦阻力做的功是mgR．

点评 本题属于圆周运动中临界问题，关键要把握小球在最高点的临界状态时：由重力恰好提供向心力，同时要明确动能定理是求变力做功常用的方法．