Question

5．现代化的生产流水线大大提高了劳动效率，如图为某工厂生产流水线上水平传输装置的俯视图，它由传送带和转盘组成．物品从A处无初速放到传送带上，运动到B处后进入匀速转动的转盘一起运动（无相对滑动）到C处被取走装箱．已知A、B两处的距离L=5.0m，物品与传送带间的动摩擦因数μ₁=0.25，物品在转盘上与轴O的距离R=4.0m，物品在转盘上的最大静摩擦力可视为与滑动摩擦力大小相等．取g=10m/s²．
（1）若传送带的传输速度和转轴上与O相距为R的线速度v=3m/s，则物品与转盘间的动摩擦因数μ₂至少为多大？
（2）接（1），物品的质量为0.5kg，每输送一个物品从A到C，该流水线为此多做多少功？
（3）若μ₂=0.9，通过同步提高传送带和转盘的速度，可缩短物品A到C的时间，最短时间为多少？

Answer 1

分析 （1）最大静摩擦力刚好提供向心力即可求得最小摩擦力；
（2）物体在传送带上先加速后匀速运动，判断出两者之间的相对位移，根据能量守恒即可判断流水线多做的功；
（3）假设物品从A运动到B一直匀加速时，由位移等于平均速度乘以时间求物品在传送带上运动时间．再由圆周运动的规律求出物品由B运动到C的时间，从而得到总时间

解答 解：（1）物品在转盘上所收到的静摩擦力提供向心力则${μ}_{2}mg≥\frac{m{v}^{2}}{R}$
解得μ₂≥0.3
（2）对物品有μ₁mg=ma，v=at₁
解得t₁=1.2s
有x=$\frac{1}{2}{at}_{1}^{2}$
解得x=1.8m＜L
在传送带上因为传送一个物品至少需要做的功$W=\frac{1}{2}m{v}^{2}+{μ}_{1}mg（v{t}_{1}-x）=4.5J$
（3）若μ₂=0.9由${μ}_{2}mg≥\frac{m{v}^{2}}{R}$
转盘R处的速度最大${v}_{2}=3\sqrt{3}$m/s
若物品在传送带上一直加速，最大速度${v}_{1}=\sqrt{2{μ}_{1}gL}=5m/s$
故在转盘R处的速度应为5m/s
最短时间t=${t}_{1}+{t}_{2}=\frac{{v}_{1}}{a}+\frac{πR}{{v}_{1}}=（2+0.6π）s$
答：（1）若传送带的传输速度和转轴上与O相距为R的线速度v=3m/s，则物品与转盘间的动摩擦因数μ₂至少为0.3
（2）接（1），物品的质量为0.5kg，每输送一个物品从A到C，该流水线为此多做4.5J功
（3）若μ₂=0.9，通过同步提高传送带和转盘的速度，可缩短物品A到C的时间，最短时间为（2+0.6π）s

点评 本题是多过程问题，采用程序法分析．对于传送带问题，关键在于分析物体的受力情况和运动情况．对于圆周运动问题，关键在于分析向心力的来源