Question

16．一宇航员到达半径为R、密度均匀的某星球表面，做如下实验：用不可伸长的轻绳拴一质量为m的小球，上端固定在O点，如图甲所示，在最低点给小球某一初速度，使其绕O点的竖直面内做圆周运动，测得绳的拉力F大小随时间t的变化规律如图乙所示．F₁=7F₂，设R、m、引力常量G以及F₁为已知量，忽略各种阻力．以下说法正确的是（　　）

• A． 该星球表面的重力加速度为 $\frac{\sqrt{7}{F}_{1}}{7m}$
• B． 卫星绕该星球的第一宇宙速度为 $\sqrt{\frac{Gm}{R}}$
• C． 星球的密度为 $\frac{3{F}_{1}}{28πGmR}$
• D． 小球过最高点的最小速度为0

Answer 1

分析 （1）对小球受力分析，在最高点和最低点时，由向心力的公式和整个过程的机械能守恒可以求得重力加速度的大小；
（2）根据万有引力提供向心力可以求得星球的第一宇宙速度；
（3）求得星球表面的重力加速度的大小，再由在星球表面时，万有引力和重力近似相等，可以求得星球的质量，再根据密度公式求出星球的密度；
（4）对小球在最高点运用牛顿第二定律分析求解最小速度大小

解答 解：A、设小球在最低点时细线的拉力为F₁，速度为v₁，则  F₁-mg=$m\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$ ①
设砝码在最高点细线的拉力为F₂，速度为v₂，则  F₂+mg=$m\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$    ②
由机械能守恒定律得 $mg•2r+\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$ ③
由①、②、③解得  g=$\frac{{F}_{1}^{\;}-{F}_{2}^{\;}}{6m}$    ④
${F}_{1}^{\;}=7{F}_{2}^{\;}$，所以该星球表面的重力加速度为$\frac{{F}_{1}^{\;}}{7m}$．故A错误．
B、根据万有引力提供向心力得：$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$卫星绕该星球的第一宇宙速度为$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$，故B错误．
C、在星球表面，万有引力近似等于重力 $G\frac{Mm′}{{R}_{\;}^{2}}=m′g$      ⑤
由④、⑤解得  M=$\frac{{F}_{1}^{\;}{R}_{\;}^{2}}{7Gm}$，星球的体积$V=\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}$，星球的密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{{F}_{1}^{\;}{R}_{\;}^{2}}{7Gm}}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}$=$\frac{3{F}_{1}^{\;}}{28πGmR}$，故C正确．
D、小球在最高点受重力和绳子拉力，根据牛顿运动定律得：F₂+mg=$m\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$＞mg所以小球在最高点的最小速v²＞gR，即$v＞\sqrt{gR}$，故D错误；
故选：C

点评 根据小球做圆周运动时在最高点和最低点的运动规律，找出向心力的大小，可以求得重力加速度；知道在星球表面时，万有引力和重力近似相等，而贴着星球的表面做圆周运动时，物体的重力就作为做圆周运动的向心力．