Question

12．如图所示，一光滑的半径为R拦圆形轨道固定在在水平面上，一个质量为m的小球以某一速度冲上轨道，当小球将要从轨道口B点飞出时，轨道的压力恰好为零，则
（1）小球通过B点时的速度多大？
（2）小球落地点C距A点（A点在B点正下方）处多远？
（3）已知小球通过A点时对轨道压力为其重力的6倍，则其通过A点时速度多大？

Answer 1

分析 （1）小球恰好通过最高点可以求出小球在最高点的速度；
（2）小球离开B点做平抛运动，已知初速度和高度可以求出落地时水平方向的位移．

解答 解：（1）小球在恰好通过最高点时在最高点B只受重力作用，根据牛顿第二定律有：
$mg=m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$
可得小球在最高点的速度为：${v}_{B}=\sqrt{gR}$
（2）小球离开B点开始做平抛运动，初速度为：${v}_{B}=\sqrt{gR}$，
抛出点高度为：h=2R
则根据竖直方向做自由落体运动有：h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
可得小球做平抛运动的时间为：$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$
小球在水平方向做匀速直线运动，
故平抛过程中小球在水平方向的位移为：x=v_Bt=2R
（3）在A点，对小球受力分析，支持力与重力的合力做为向心力，小球通过A点时对轨道压力为其重力的6倍，
所以有：F_N-mg=m$\frac{{v}_{A}{\;}^{2}}{R}$，
即：6mg-mg=m$\frac{{v}_{A}{\;}^{2}}{R}$，
解得：v_A=$\sqrt{5gR}$．
答：（1）小球通过B点时的速度是$\sqrt{gR}$；
（2）小球落地点C距A处的距离是2R．
（3）通过A点时速度是$\sqrt{5gR}$．

点评 小球在竖直面内做圆周运动最高点时合外力提供圆周运动向心力由此得出恰好过最高点的临界条件，再根据平抛运动求落地点的水平位移，掌握规律很重要．