Question

8．如图所示，光滑斜面与水平面成α角α=30°，斜面上一根长为l=0.30m的轻杆，一端系住质量为0.2kg的小球，另一端固定在O点，现将轻杆拉直至水平位置，然后给小球一沿着平板并与轻杆垂直的初速度v₀=3.0m/s，g=10m/s²，则（　　）

• A． 此时小球的加速度大小为30m/s²
• B． 小球到达最高点时杆的弹力沿斜面向上
• C． 若增大v₀，到达最高点时杆子对小球的弹力一定增大
• D． 若增大v₀，到达最高点时杆子对小球的弹力可能减小

Answer 1

分析 先对小球受力分析，受细杆拉力、斜面弹力、重力，小球在出发点时，由细杆的拉力提供向心力，由圆周运动规律可列此时的表达式；
小球从释放到最高点的过程，在依据动能定理可知，速度越来越大，到达最高点时，轻杆对小球的弹力与小球的重力沿斜面的分力的合力提供向心力．

解答 解：A、小球做变速圆周运动，在初位置加速度不指向圆心，将其分解：
切向加速度为：$a′=\frac{mgsinα}{m}=gsinα$；
向心加速度为：${a}_{n}=\frac{{v}_{1}^{2}}{l}=\frac{{3}^{2}}{0.30}=30m/{s}^{2}$；
故时小球的加速度为合加速度，a=$\sqrt{{a}_{n}^{2}+a{′}^{2}}$＞a_n=30m/s²＞$\sqrt{30}$m/s²，故A错误；
B、从开始到最高点过程，根据动能定理，有：-mglsinα=$\frac{1}{2}{mv}_{1}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$；
解得：v₁=$\sqrt{{v}_{0}^{2}-2glsinα}$；
考虑临界情况，如果没有杆的弹力，重力的平行斜面分力提供向心力，有：$mgsinα=m\frac{{v}_{2}^{2}}{l}$，可以得到v₂小于v₁，说明杆在最高点对球是拉力，故B错误；
CD、在最高点时，轻杆对小球的弹力是拉力，故：$F+mgsinα=\frac{{mv}_{最高}^{2}}{l}$，如果初速度增大，则最高点速度也增加，故拉力F一定增加，故C正确，D错误；
故选：C．

点评 本题重点是分析小球圆周运动的向心力来源，这个情形虽然不是在竖直平面内的圆周运动，但是其原理和竖直平面内的圆周运动一样，要利用运动的合成与分解的观点结合牛顿第二定律求解．