Question

13．如图所示，水平桌面上有一轻弹簧，左端固定在A点，自然状态时其右端位于B点．水平桌面右侧有一竖直放置的光滑轨道MNP，其形状为半径R=0.8m的圆环剪去了左上角135?的圆弧，MN为其竖直半径，P点到桌面的竖直距离也是R．用质量m₁=0.4kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点，释放后弹簧恢复原长时物块恰停止在B点．用同种材料、质量为m₂=0.2kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点释放，物块过B点后其在桌面上运动时位移与时间的关系为s=6t-2t²，物块飞离桌面后由P点沿切线落入圆轨道．取g=10m/s²．求：

（1）BP间的水平距离；
（2）判断m₂能否沿圆轨道到达M点；
（3）释放后m₂运动过程中克服摩擦力做的功．

Answer 1

分析 （1）物块由D点做平抛运动，根据平抛运动的基本公式求出到达D点的速度，根据物块过B点后其位移与时间的关系得出初速度和加速度，进而根据位移-速度公式求出位移；
（2）物块在内轨道做圆周运动，在最高点有临界速度，应用牛顿第二定律求出临界速度，根据机械能守恒定律，求出M点的速度，与临界速度进行比较，判断其能否沿圆轨道到达M点．
（3）由能量转化及守恒定律即可求出m₂释放后在桌面上运动的过程中克服摩擦力做的功．

解答 解：（1）设物体由D点以初速度v_D做平抛，落到P点时竖直速度为v_y，有：
v_y²=2gR，
$\frac{{v}_{y}}{{v}_{D}}$=tan45°，
联立并代入数据解得：v_D=4m/s，
设平抛时间为t，水平位移x₁，有：
R=$\frac{1}{2}$gt²，
x₁=v_Dt，
联立并代入数据解得：x₁=1.6m，
小球过B点后做初速度为v₀=6m/s，加速度为a=4m/s²的减速运动到达D点的速度v_D，
由匀变速直线运动的速度位移公式得：v₀²-v_D²=2ax₂，
所以BP的水平距离为：x=x₁+x₂=4.1m；
（2）物体恰好通过最高点时，由牛顿第二定律得：
mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：v=$\sqrt{gR}$，
物体要通过最高点，速度应大于等于$\sqrt{gR}$，
若物体能沿轨道到达M点，其速度v_M，
由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$m₂v_M²=$\frac{1}{2}$m₂v_D²-$\frac{\sqrt{2}}{2}$m₂gR，
解得：v_M=$\sqrt{16-8\sqrt{2}}$＜$\sqrt{gR}$，则物体不能到达M点．
（3）设弹簧长为AC时的弹性势能为E_P，物块与桌面间的动摩擦因数为μ，由牛顿第二定律得：
μm₂g=m₂a，
 释放m₁时，E_P=μm₁gx_CB，
释放m₂时，E_P=μm₂gx_CB+$\frac{1}{2}$m₂v₀²，
解得：E_P=7.2J，
设m₂在桌面上运动过程中克服摩擦力做功为W_f，有：
E_P-W_f=$\frac{1}{2}$m₂v_D²，
代入数据解得：W_f=5.6J；
答：（1）BP间的水平距离为4.1m；
（2）m₂不能沿圆轨道到达M点；
（3）释放后m₂运动过程中克服摩擦力做的功为5.6J．

点评 该题涉及到多个运动过程，主要考查了机械能守恒定律、平抛运动基本公式、圆周运动向心力公式的应用，用到的知识点及公式较多，难度较大，属于难题．