Question

6．如图所示，xoy坐标系建在光滑绝缘的水平面上，x轴下方存在范围足够大的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直水平面向外．A、C、D坐标分别为（0，2L）、（0，L）、（a，0），A、C两点分别固定一平行于x轴放置的长度小于a的相同绝缘弹性挡板PQ和MN，A、C均为挡板中点，A、D两处分别放有两个相同的绝缘小球（可视为质点），小球质量为m，且A处小球不带电，D处小球带电量为q（q＞0）．若A处小球以某一水平速度v₀飞向D，带电小球被碰后与挡板MN发生两次碰撞，并能经过A点与档板PQ发生碰撞，设球与球发生弹性碰撞，球与挡板碰撞前后沿板方向分速度不变，垂直板方向分速度等大反向，求：
（l）A处小球的初速度v₀的大小？
（2）弹性档板MN的最小长度？
（3）若a=2$\sqrt{3}$L，则带电小球运动的时间？

Answer 1

分析 （1）按照题目粒子运动的先后过程，列出相应的方程，质量相等的两个小球发生弹性碰撞后交换速度．即D处的粒子以vo速度进入磁场做匀速圆周运动，离开磁场后与MN发生两次碰撞恰又回到A点，画出粒子在磁场内外做匀速圆周运动和匀速直线运动的轨迹，找到这个过程包含精妙的几何关系．将粒子做匀速圆周运动的半径和坐标代入该关系，就能得到粒子的初速度．
（2）由图可知板的最短长度为l_min=2OF，从而求出板的最短长度．
（3）若a=2$\sqrt{3}$L，则图中的θ=60°，分别求出粒子在磁场中的时间和在场外做匀速直线运动的时间，两者相加就得到带电小球运动的总时间．

解答 解：（l）两小球策一次弹性碰撞：mv₀=mv₁+mv₂
  $\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}$
解得：v₁=0，v₂=v₀
（或文字说明：策一次弹性碰撞两球交换速度）
  带电小球在磁场中运动半径R，$q{v}_{0}B=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$
  得：R=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$
  在粒子没射向A点前，每次进入磁场与下次射出磁场两点间距DD₁=D₂D₃=D₄D₅=x₁=2Rsinθ
  由几何知识可知，粒子每次射出磁场与下次进入磁场两点间距D₁D₂=D₃D₄=x₂=a
  带电小球两次碰撞到达A点，由对称性可知：x₁+2（x₁-x₂）=2a
  由以上各式可得：v₀=$\frac{qBa\sqrt{4{L}^{2}+{a}^{2}}}{3mL}$
（2）由几何知识可知，OF=a-FD₂-（x₁-x₂）
 由图可知板的最短长度为l_min=2OF
 得：l_min=$\frac{a}{3}$
（或由图可知l_min=DD₂=$\frac{a}{3}$）
（3）若a=$2\sqrt{3}L$，则θ=60°，带电小球在磁场中运动的圆心角为3×300°=900°，
  在磁场中运动的时间t₁=$\frac{900°}{360°}T=\frac{5πm}{qB}$
  做匀速直线运动的中路程，S=2AD+$4×\frac{AD}{2}$=4AD=16L
  t₂=$\frac{s}{{v}_{0}}$
  带电小球在D处第二次与不带电小球碰撞，同理可知两次交换速度，带电小球停在D处，不带电小球匀速直线运动．
  所以，带电小球的运动时间：t=t₁+t₂
  由以上得：t=$\frac{5πm}{qB}+\frac{2\sqrt{3}m}{qB}$
答：（l）A处小球的初速度v₀的大小为$\frac{qBa\sqrt{4{L}^{2}+{a}^{2}}}{3mL}$．
（2）弹性档板MN的最小长度$\frac{a}{3}$．
（3）若a=2$\sqrt{3}$L，则带电小球运动的时间为$\frac{5πm}{qB}+\frac{2\sqrt{3}m}{qB}$．

点评 本题的靓点在于第一问：由于要与MN发生两次碰撞后再回到A点，找到其中的几何关系，把坐标和匀速圆周运动的半径代入就能求出初速度．还要注意的是第三问，带电小球的总时间应当是场外场内时间的之和．