Question

6．如图所示，将质量为m的匀质细铁链圈套在一个表面光滑的圆锥上，圆锥顶角为α，设圆锥底面水平，铁链圈平衡时在一平面上，该面与圆锥底面平行，则铁链内的张力大小为$\frac{mg}{2πtan\frac{α}{2}}$．

Answer 1

分析 取软绳中很小的一段质量元进行分析，根据受力分析可求得张力与合力的关系；再由共点力的平衡条件可明确合力与重力之间的关系，联立可求得铁链内的张力．

解答 解：因为圆环受重力和圆锥体对圆环的作用力处于平衡，则圆锥体对圆环的作用力F等于圆环的重力mg，即F=mg．
设质量元△m两端所受张力为T，其合力为F，因为它所对的圆心角θ很小，所以sinθ等价于θ，即为：
F=2Tsin（$\frac{θ}{2}$）≈2T•$\frac{θ}{2}$=Tθ
质量元受重力△mg、支持力N和张力的合力F而处于平衡状态，由几何知识可得：
F=△mgcot（$\frac{α}{2}$）=$\frac{θ}{2π}$mgcot（$\frac{α}{2}$）
联立解得：T=$\frac{mg}{2πtan\frac{α}{2}}$
故答案为：$\frac{mg}{2πtan\frac{α}{2}}$．

点评 本题采用微元法进行分析，要注意明确绳上的张力与弹力之间的关系；并能正确根据共点田力的平衡进行分析求解．