Question

如图所示，在倾角为θ的固定的足够长斜面上静置一质量为m的小物块A，A与斜面之间的动摩擦因数为μ=tanθ．另有一底面光滑、质量为

m

7

的小物块B在斜面上与A相距为L处由静止释放，向A运动并与A相碰，碰撞时间极短，碰后A的速度为B碰前速度的

1

4

，求：
（1）在第1次碰撞后至第2次碰撞前，A、B之间的最大距离；
（2）B从开始下滑至第2次与A碰撞的过程中重力对它做的功．

Answer 1

分析：（1）根据动能定理求出B与A碰撞前的速度，因为A所受的摩擦力和重力的分力相等，碰撞过程AB组成的系统在沿斜面方向动量守恒，根据动量守恒定律求出碰后A、B的速度，碰后A做匀速直线运动，B做匀加速直线运动，当两者速度相等时，相距最远．结合运动学公式求出两者的最大距离．
（2）根据运动学公式求出B从开始下滑至第2次与A碰撞的过程中运动的位移，从而求出重力做功的大小．

解答：解：（1）设小物块B运动到A处时速度为v_B，由动能定理得：

m

7

gLsinθ=

1

2

m

7

v

2 B

，
解得

v

2 B

=2gLsinθ①
B、A相碰，由动量守恒定律得：

m

7

vB=

m

7

vB′+mvA②
依题意，A碰后速度vA=

1

4

vB③
由①～③式解得B碰后速度vB′=-

3

4

vB④
对A，因为μ=tanθ故mgsinθ=μmgcosθ，碰后A沿斜面向下做匀速运动．
设B、A碰撞后经t₁时间速度相同，则t₁时刻A、B之间的距离最大，
由运动学公式：vA=vB′+gsinθ?t1⑤
t₁时间内A的位移s_A=v_At₁⑥
t₁时间内B的位移sB=

vB′+vA

2

t1⑦
A、B之间的最大距离：△s_m=s_A-s_B⑧
由③～⑧式可得，A、B之间的最大距离△s_m=L⑨
（2）第1次碰撞结束时，B与A距离为零，第2次即将碰撞时B与A距离仍为零，设两次碰撞时间间隔为t₂，由运动学公式：
t₂时间内A的位移sA′=vAt2⑩
t₂时间内B的位移sB′=vB′t2+

1

2

gsinθ?t22
sA′=sB′
B从开始下滑至第2次与A碰撞时重力对它做的功为：W=

m

7

gsinθ(SB′+L)
由以上各式解得W=

2mgLsinθ

7

答：（1）在第1次碰撞后至第2次碰撞前，A、B之间的最大距离为L．
（2）B从开始下滑至第2次与A碰撞的过程中重力对它做的功为

2mgLsinθ

7

．

点评：本题考查了动量守恒定律、动能定理、运动学公式和推论，综合性较强，关键是理清运动过程，选择合适的规律进行求解．