Question

如图所示，在倾角为θ=37°的足够长的斜面上，有质量为m₁=2kg的长木板．开始时，长木板上有一质量为m₂=1kg的小铁块（视为质点）以相对地面的初速度v₀=2m/s 从长木板的中点沿长木板向下滑动，同时长木板在沿斜面向上的拉力作用下始终做速度为v=1m/s的匀速运动，小铁块最终与长木板一起沿斜面向上做匀速运动．已知小铁块与长木板、长木板与斜面间的动摩擦因数均为μ=0.9，重力加速度为g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8
试求：
（1）小铁块在长木板上滑动时的加速度；
（2）长木板至少多长？
（3）在小铁块从木板中点运动到与木板速度相同的过程中拉力做了多少功？

Answer 1

分析：（1）分析小铁块的受力，根据牛顿第二定律求解小铁块在长木板上滑动时的加速度的大小和方向；
（2）小铁块先沿斜面向下做匀减速运动至速度为零，再沿斜面向上做匀加速运动，最终以速度v与长木板一起沿斜面向上做匀速运动．根据速度公式求出小铁块从开始向下滑动到速度与木板相同所需要的时间，根据位移公式求出此过程小铁块和木板的位移，由几何关系求出长木板最小的长度．
（3）对木板，由平衡条件求出拉力的大小，再求出拉力做功．

解答：解：（1）设小铁块的加速度大小为a．取沿斜面向上方向为正方向，根据牛顿第二定律得
  f₂-m₂gsinθ=m₂a
又f₂=μN₂=μm₂gcosθ
得a=g（μcosθ-sinθ）=1.2m/s²，方向沿斜面向上．
（2）小铁块先沿斜面向下做匀减速运动至速度为零，再沿斜面向上做匀加速运动，最终以速度v与长木板一起沿斜面向上做匀速运动．设经过时间t后小铁块达到速度v，则
   v-（-v₀）=at
得t=

v0+v

g(μcosθ-sinθ)

=2.5s
设此段时间内小铁块的位移为s₁，木板的位移为s₂，则有
s1=

(v0-v)t

2

，方向沿斜面向下，s₂=vt，方向沿斜面向上．
∵

L

2

≥s₁+s₂
∴L≥2（s₁+s₂）=

(v0+v)2

g(μcosθ-sinθ)

=7.5m
（3）对木板：F=f₁+f₂+m₁gsinθ，f₁=μN₁
则中拉力做功为W=Fs₂=102J
答：
（1）小铁块在长木板上滑动时的加速度为1.2m/s²，方向沿斜面向上．
（2）长木板至少为7.5m．
（3）在小铁块从木板中点运动到与木板速度相同的过程中拉力做了102J功．

点评：本题关键要正确分析铁块的运动情况，运用牛顿第二定律和运动学公式结合处理是基本方法．