Question

5．如图所示，天花板O点系有一轻质弹簧，弹簧原长为L₀=9cm，劲度系数k=5N/cm，弹簧下端系有一质量为m=0.4kg的小球．小球在水平面内做匀速圆周运动，轨道平面距离地面的高度为H=25cm，小球运动过程中忽略空气阻力，重力加速度g取10m/s^s则：
（1）小球做匀速圆周运动时，弹簧与竖直方向所成角度为θ=37°，弹簧的长度L是多少？（弹簧此时在弹性限度之内）
（2）若在运动过程中，轻质弹簧与小球的连接处突然断裂，小球落地点距离轨道平面轴线OO，距离为多少？

Answer 1

分析 （1）对小球受力分析，根据竖直方向上平衡求出弹簧的弹力，结合胡克定律求出弹簧的长度．
（2）根据合力提供向心力求出小球的线速度，结合高度求出平抛运动的时间，从而得出平抛运动的水平位移，根据几何关系求出落点与轨道平面轴线OO′距离．

解答 解：（1）设弹簧拉力为F，圆周运动的轨道半径为r，以小球作为研究对象，有：
F=$\frac{mg}{cosθ}$=$\frac{4}{0.8}N=5N$．
根据胡克定律得，F=k（L-L₀），
代入数据解得L=10cm．
（2）小球做圆周运动，有：$mgtanθ=m\frac{{v}^{2}}{r}$，
r=Lsinθ，
代入数据解得$v=\frac{3\sqrt{5}}{10}m/s$．
平抛运动的时间t=$\sqrt{\frac{2H}{g}}=\sqrt{\frac{2×0.25}{10}}s=\frac{\sqrt{5}}{10}s$．
小球的水平位移x=$vt=\frac{3\sqrt{5}}{10}×\frac{\sqrt{5}}{10}m=0.15m$，
则小球落地点与轨道平面轴线OO′距离为s=$\sqrt{{x}^{2}+{r}^{2}}$，
代入数据解得s=16cm．
答：（1）弹簧的长度L是10cm．
（2）小球落地点距离轨道平面轴线OO′距离为16cm．

点评 本题考查了圆周运动和平抛运动的综合，知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律和圆周运动向心力的来源是解决本题的关键，注意平抛运动的水平位移不是小球落地点距离轨道平面轴线OO′距离．