Question

19．如图所示，倾角为θ的固定粗糙斜面上有一物块A，物块到斜面底端的高度为h，紧靠斜面底端有一长为L的长木板B停放在光滑的水平面上，斜面底端刚好与长木板上表面左端接触，长木板上表面粗糙，右端与-$\frac{1}{4}$圆弧面C粘接在一起，圆弧面左端与木板平滑相接，现释放物块A让其从斜面上滑下．圆弧面表面光滑，圆弧面的半径为R，物块与斜面长木板表面的动摩擦因数均为μ，A、B、C三者的质量相等，重力加速度大小为g，不计物块A从斜面滑上木板时的机械能损失．
（1）求物块A到达斜面底端时的速度大小v；
（2）改变物块A由静止释放的位置，若物块A恰好能滑到圆弧面C的最高点，求其开始下滑时到斜面底端的高度h₁
（3）在（2）中情况下，求物块A从圆弧面最高点返回后停留在长木板B上的位置到长木板右端的距离s （设物块A不会从长木板B的左端滑下）．

Answer 1

分析 （1）由动能定理求物块A到达斜面底端时的速度大小v；
（2）先由动能定理求出物块A到达斜面底端时的速度表达式．物块A恰好能滑到圆弧面C的最高点时，A与C的速度相同．由A、B、C系统的水平动量守恒和能量守恒结合求高度h₁．
（3）最终物块A停留在长木板B上，由水平动量守恒列式，求出最终三者的共同速度．再由能量守恒列式求s．

解答 解：（1）物块A在斜面上下滑的过程，由动能定理得：
mgh-μmgcosθ•$\frac{h}{sinθ}$=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：v=$\sqrt{2gh-\frac{2μgh}{tanθ}}$
（2）当物块开始下滑时到斜面底端的高度h₁时，物块A在斜面上下滑的过程，由动能定理得：
mgh₁-μmgcosθ•$\frac{{h}_{1}}{sinθ}$=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
解得：v₁=$\sqrt{2g{h}_{1}-\frac{2μg{h}_{1}}{tanθ}}$
设物块A滑到圆弧面C的最高点时的速度大小为v₂，取向右为正方向，由水平动量守恒得：
mv₁=3mv₂．
由功能关系有：μmgL=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}$×3mv₂²-mgR
解得：h₁=$\frac{3（μL+R）tanθ}{2（tanθ-μ）}$
（3）经分析可知，当物块A最终停留在长木板B上时，物块、木板和圆弧面具有共同的速度，设为v₃．根据动量守恒定律得：
mv₁=3mv₃．
上式中 v₁=$\sqrt{2g{h}_{1}-\frac{2μg{h}_{1}}{tanθ}}$，且 h₁=$\frac{3（μL+R）tanθ}{2（tanθ-μ）}$
由功能关系有：μmg（L+s）=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}•3m{v}_{3}^{2}$
解得：s=$\frac{R}{μ}$
答：（1）物块A到达斜面底端时的速度大小v是$\sqrt{2gh-\frac{2μgh}{tanθ}}$；
（2）改变物块A由静止释放的位置，若物块A恰好能滑到圆弧面C的最高点，其开始下滑时到斜面底端的高度h₁是$\frac{3（μL+R）tanθ}{2（tanθ-μ）}$．
（3）物块A从圆弧面最高点返回后停留在长木板B上的位置到长木板右端的距离s是$\frac{R}{μ}$．

点评 解决本题的关键是要把握功与能的关系，挖掘隐含的临界条件：物块到达C的最高点时三个物体的速度相等．最终物块A停留在B上时三者速度又相同．