Question

12．如图，两根足够长、间距L=1m的光滑平行导轨竖直固定．在垂直导轨的虚线a₁a₂下方有方向如图、磁感应强度B₀=0.5T的匀强磁场，垂直导轨的虚线b₁b₂上方有垂直纸面、磁感应强度B=$\frac{20}{\sqrt{4+10x}}$T（x为离b₁b₂的距离）、沿水平方向均匀分布的磁场．现用竖直向上的力F拉质量m=50g的细金属杆c从b₁b₂以初速度v₀开始向上运动，c杆保持与导轨垂直．同时，释放垂直导轨置于a₁a₂下质量也为m=50g、电阻R=20Ω的细金属杆d，d杆恰好静止．其余电阻不计，两杆与导轨接触良好，g取10m/s²．
（1）求通过杆d的电流大小及b₁b₂以上区域磁场的方向；
（2）通过分析和计算，说明杆c做什么性质的运动；
（3）以杆c从b₁b₂出发开始计时，求其所受作用力F的大小与时间t的关系式．

Answer 1

分析 （1）对杆d根据共点力的平衡条件求解电流强度，根据左手定则和右手定则判断磁场方向；
（2）由切割磁感线电动势公式和欧姆定律得到c杆上升的速度大小，再根据位移速度关系分析运动情况；
（3）杆c此时受拉力F、重力、安培力作用，由牛顿第二定律求解拉力F与位移的表达式，将位移代入F的表达式即可．

解答 解：（1）杆d受重力、安培力作用而平衡：B₀IL=mg     ①
得：I=$\frac{mg}{{B}_{0}L}=\frac{0.05×10}{0.5×1}A$=1A     ②
由杆d受到的安培力向上，用左手定则得到杆d中电流向左，由杆c电流方向向右，用右手定则得到磁场垂直纸面向外．          
（2）设杆c上升到离b₁b₂距离为x处、切割磁感线的速率为v，由切割磁感线电动势公式和欧姆定律有：I=$\frac{BLv}{R}$         ③
故v=$\frac{IR}{BL}$=$\frac{1×20}{\frac{20}{\sqrt{4+10x}}×1}m/s=\sqrt{4+10x}m/s$
符合v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+2ax}$公式，所以杆c匀加速直线上升，且初速度v₀和加速度a的大小分别为：v₀=2m/s           ④
a=5m/s²           ⑤
（3）杆c此时受拉力F、重力、安培力作用，由牛顿第二定律有：F-mg-BIL=ma   ⑥
解得F=（0.75+$\frac{20}{\sqrt{4+10x}}$）N       ⑦
杆c从b₁b₂出发到此时位置的位移x=v₀t+$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=（2t+2.5t²）m         ⑧
联列⑦⑧得：F=（0.75+$\frac{20}{\sqrt{4+20t+25{t}^{2}}}$）N．
答：（1）通过杆d的电流大小为1A，b₁b₂以上区域磁场的方向垂直纸面向外；
（2）杆c匀加速直线上升；
（3）以杆c从b₁b₂出发开始计时，其所受作用力F的大小与时间t的关系式为F=（0.75+$\frac{20}{\sqrt{4+20t+25{t}^{2}}}$）N．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，重点是分析安培力作用下导体棒的平衡问题，根据平衡条件列出方程；另一条是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系等列方程求解．