Question

1．如图所示，导体棒a两端系有两根足够长的、质量和电阻可忽略的柔软导线，导线通过绝缘水平桌面上的轻质小滑轮，穿过立柱P、Q底部的小孔，固定于桌面上的M、N两点．导体棒b置于立柱P、Q左侧，放置在导线上，与两导线接触良好．两导体棒与桌边缘平行，整个装置处于水平向右、磁感应强度为B的匀强磁场中．已知两根棒的质量均为m，电阻均为R，长度均为L，棒b与导线间的动摩擦因数为μ（μ＜1），其余各处均光滑，重力加速度为g．现同时松开M、N两点，棒a由静止开始向下运动．

（1）求棒a向下运动速度为v时，棒b中感应电流的大小及方向；
（2）求棒a向下运动速度为v时，棒b所受安培力大小和摩擦力大小；
（3）求棒a在下落过程中的最大速度v_m；
（4）若将桌面以上空间的磁场方向改为水平向左，磁感应强度大小保持不变，桌面以下空间的磁场维持原状，求立柱P、Q对棒b的弹力大小范围．

Answer 1

分析 （1）根据饭店里的和闭合电路的欧姆定律求解通过b棒的感应电流；根据左手定则判断电流方向方向；
（2）根据安培力计算公式求解金属棒b所受的安培力大小，由平衡条件和摩擦力计算公式求解金属棒所受的摩擦力；
（3）画出金属棒a和两根金属线沿运动方向受力，根据牛顿第二定律结合共点力的平衡条件来分析；
（4）画出a棒和两根金属线沿运动方向受力情况，分别对金属棒b和a棒向下加速运动时，分析运动情况，由牛顿第二定律和共点力的平衡条件来求解．

解答 解：（1）当金属棒a以速度v向下运动时，产生的感应电动势E=BLv，
通过b棒的感应电流I=$\frac{E}{2R}$=$\frac{BLv}{2R}$；
方向由P指向Q；
（2）金属棒b所受的安培力大小为F_b=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{2R}$；
金属棒b受力分析如图（a）所示，b棒处于平衡状态，由平衡条件可得：

F_N=mg+F_b，
又F_f=μF_N，
金属棒所受的摩擦力为F_f=μF_N=μ（mg+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{2R}$）
（3）金属棒a和两根金属线沿运动方向受力如图（b），F_a为金属棒a所受安培力，F′_f为b棒对金属线的摩擦力，
根据牛顿第二定律可知F′_f=F_f=μ（mg+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{2R}$）
F_a=F_b=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{2R}$；
a棒向下加速运动，由牛顿第二定律可得：mg-F_a-F′_f=ma，
即mg-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{2R}$-$μ（mg+\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{2R}）$=ma，
金属棒a做加速度逐渐减小的加速运动，当加速度为零时速度达到最大值v_m，
因此mg-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{2R}$-$μ（mg+\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{2R}）$=0，
解得：v_m=$\frac{2（1-μ）mgR}{（1+μ）{B}^{2}{L}^{2}}$；
（4）桌面及其以上空间的匀强磁场，改为水平向左后，b棒受力如图（c），a棒和两根金属线沿运动方向受力如图（d）

金属棒b：F_N1=mg-F_b、T=F_f1，
a棒向下运动时，立柱P、Q对棒的弹力T=F_f1=μF_N1=μ（mg-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{2R}$）
当开始运动时，弹力T有最大值T_max趋于μmg，
a棒向下加速运动，由牛顿第二定律可得：mg-F_a-F′_f=ma，
即mg-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{2R}$-$μ（mg-\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{2R}）$=ma，
金属棒a做加速度逐渐减小的加速运动，当加速度为零时速度达到最大值v′_m，弹力T有最小值，即：
因此mg-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v{′}_{m}}{2R}$-$μ（mg-\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v′}_{m}}{2R}）$=0，
解得$v{′}_{m}=\frac{2mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$或μ=1（舍去）
代入的弹力最小值T_min=0，
因此立柱P、Q对金属棒b的弹力大小范围是（0，μmg）．
答：（1）棒a向下运动速度为v时，棒b中感应电流的大小$\frac{BLv}{2R}$，方向由P指向Q；
（2）棒a向下运动速度为v时，棒b所受安培力大小为$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{2R}$，摩擦力大小为μ（mg+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{2R}$）；
（3）棒a在下落过程中的最大速度为$\frac{2（1-μ）mgR}{（1+μ）{B}^{2}{L}^{2}}$；
（4）立柱P、Q对棒b的弹力大小范围为（0，μmg）．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，重点是分析安培力作用下导体棒的平衡问题，根据平衡条件列出方程；另一条是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系等列方程求解．