Question

14．如图所示，用同种材料制成的一个轨道ABC，其中AB段为四分之一圆弧．在B点和水平段BC相切，圆弧半径为R．小物块和轨道间摩擦因数为μ，小物块从轨道顶端A由静止开始恰好运动到C点静止，且BC距离也为R，则摩擦系数μ的取值应有（　　）

• A． 0＜μ＜0.25
• B． 0.25＜μ＜0.5
• C． 0.5＜μ＜0.75
• D． 0.75＜μ＜1

Answer 1

分析 该题只需要大体确定动摩擦因数的范围，可以分别由可能的情况分析极大值的情况与极小值的情况，然后大体确定范围即可．

解答 解：将AB段的运动若分解成一段段的小的斜面，设其中任意一段时，对应的斜面的倾角为θ，则摩擦力：
f=μF_N  ①
当物块沿斜面滑下很一小段L后，摩擦力做的功：
W=fL   ②
小物块沿水平方向的位移：
x=Lcosθ   ③
由题可知，物块从A到B的过程中做曲线运动，合外力的方向指向圆心的方向，所以在倾角为θ的位置：
F_N=mgcosθ+F_n   ④
其中：F_n是向心力．
联立可得，在对应的斜面的倾角为θ的该段摩擦力做的功：
W=$μ（mgcosθ+{F}_{n}）•\frac{x}{cosθ}$=$μmgx+\frac{μ{F}_{n}}{cosθ}•x$  ⑤
讨论：
Ⅰ、若小物块运动的速度足够慢，则小物块需要的向心力近似等于0，这种情况下，由于向心力的增大使得摩擦力对物块做的功就可以忽略不计，此时对应的摩擦力最小，此时对在AB段摩擦力做的功进行积分可得：W_min=μmgR 
在BC段摩擦力做的功：W_BC=μmgR  ⑥
根据功能关系可得：mgR=W_min+W_BC⑦
所以：μ=0.5
考虑到在AB段曲线运动就一定要存在向心力所以：μ＜0.5
Ⅱ、若动摩擦因数比较小，则物块运动的速度就可能比较大，取一种极限：若在AB段的摩擦力等于0，则运动到B点的速度v：$\frac{1}{2}m{v}^{2}=mgR$
在B点：${F}_{Nmax}-mg=\frac{m{v}^{2}}{R}$  ⑧
联立可得：F_Nmax=3mg
由于摩擦力的存在，到达B点的速度小于v，所以在B点物块受到的支持力小于3mg．
假设在AB段小物块受到的支持力的情况都与B点相似，根据积分的结果，则在AB段摩擦力做的功：
W_max＜3μmgR  ⑨
联立⑥⑦⑨可得：μ＞0.25
联立以上的分析可知，0.25＜μ＜0.5．故B正确，ACD错误
故选：B

点评 该题考查曲线运动的过程中的功能关系，以上属于正规的解答，解答的过程相对有点复杂．
但如果对应程度比较好的同学，解答的过程也可以这样：
若AB段为斜面，则根据斜面上摩擦力做功的特点可知：W_AB=W_BC=μmgR，则μ=0.5
根据竖直平面内圆周运动的特点可知，在光滑的轨道上从A点滑动到B点的小物块在最低点B受到的支持力是3mg，所以摩擦力做功的极大值不可能达到：W_max=3μmgR
即W_max＜3μmgR；所以μ＞0.25．