Question

6．平行直导轨由水平部分和倾斜部分组成，导轨间距L=0.5m，PQ是分界线，倾斜部分倾角为θ=30°，PQ右侧有垂直于斜面向下的匀强磁场B₂=1T，PQ左侧存在着垂直于水平面但方向未知大小也为1T的匀强磁场B₁，如图所示，质量m=0.1kg、电阻r=0.1Ω的两根金属细杆ab和cd垂直放于该导轨上，其中ab杆子光滑，cd杆与导轨间的动摩擦因数μ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，导轨底端接有R=0.1Ω的电阻，开始时ab、cd均静止于导轨上，现对ab施加一水平向左的恒定外力F，使其向b运动，当ab棒向左运动的位移为x时开始做匀速直线运动，此时cd刚要开始沿斜面向上运动（仍保持静止），再经0.4s撤去外力F，最后ab棒静止在水平导轨上，整个过程中电阻R的发热量为Q=1.0J（g=10m/s²）
（1）判断B₁磁场的方向；
（2）刚撤去外力F时ab杆子的速度v；
（3）求杆子ab的最大加速度a和加速过程中的位移x．

Answer 1

分析 （1）先根据左手定则判断cd中的电流方向，从而得到ab中的电流方向，再根据左手定则判断${B}_{1}^{\;}$磁场方向；
（2）cd棒刚要开始向上运动时，由受力情况求出安培力大小，再求出cd中的电流，由串并联电路的电流关系求出ab中的电流，求出感应电动势$I{R}_{总}^{\;}$，由$E={B}_{1}^{\;}Lv$即可求出刚撤去外力F时ab杆子的速度v，
（3）当ab匀速时安培力最大，根据受力平衡求出F，由牛顿第二定律求出最大加速度；根据功能原理求加速过程的位移；

解答 解：（1）根据题意知当ab棒向左运动的位移为x时开始做匀速直线运动，此时cd刚要开始沿斜面向上运动，cd所受到的安培力沿斜面向上，由左手定则知，流过cd棒的电流由d→c，流过ab棒的电流为a→b，ab棒所受到的安培力水平向右，根据左手定则，${B}_{1}^{\;}$磁场的方向竖直向下
（2）对cd棒：${F}_{A}^{\;}=mgsinθ+μmgcosθ$=$1×\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}=1.25N$
${F}_{A}^{\;}={B}_{2}^{\;}IL$
得$I=\frac{{F}_{A}^{\;}}{{B}_{2}^{\;}L}=\frac{1.25}{1×0.5}A=2.5A$
因为R=r，所以流过R的电流为2.5A
总电流${I}_{总}^{\;}=5A$
电路总电阻${R}_{总}^{\;}={R}_{并}^{\;}+r=0.15Ω$
ab产生的电动势$E={I}_{总}^{\;}{R}_{总}^{\;}=5×0.15=0.75V$
对ab杆：$E={B}_{1}^{\;}Lv$
解得$v=\frac{E}{{B}_{1}^{\;}L}=\frac{0.75}{1×0.5}m/s=1.5m/s$
（3）匀速运动的位移x′=v△t=1.5×0.4=0.6m
对cd最大的安培力为1.25N，对ab最大的安培力为2.5N
所以水平恒力F=2.5N
刚开始时，速度为0，感应电动势为0，安培力为0，杆ab的加速度最大，$a=\frac{F}{m}=\frac{2.5}{0.1}m/{s}_{\;}^{2}=25m/{s}_{\;}^{2}$
回路产生的焦耳热：$Q={Q}_{ab}^{\;}+{Q}_{cd}^{\;}+{Q}_{R}^{\;}=4+1+1=6J$
根据功能原理：F•（x+x′）=Q
代入数据：2.5×（x+0.6）=6
解得：x=1.8m
答：（1）B₁磁场的方向为竖直向下；
（2）刚撤去外力F时ab杆子的速度v为1.5m/s；
（3）求杆子ab的最大加速度a和加速过程中的位移x为1.8m

点评 综合考查了共点力平衡，牛顿第二定律和能量守恒定律，左右手定则等知识点，知识跨度广，考查范围大．