Question

16．2016年2月11日，美国科学家宣布探测到引力波，证实了爱因斯坦100年前的预言，弥补了爱因斯坦广义相对论中最后一块缺失的“拼图”，其实，孤立的恒星与一颗行星组成的系统就是一个双星系统．如图所示，恒星a、恒星b在万有引力作用下，绕连线上一点O以相同的周期做匀速圆周运动，现测得行星b圆周运动的半径为r_b，运动周期为T，a、b的距离为l，已知万有引力常量为G，则（　　）

• A． 恒星a的质量为$\frac{4{π}^{2}{{r}_{b}}^{3}}{G{T}^{2}}$
• B． 恒星a与行星b的总质量为$\frac{4{π}^{2}{l}^{3}}{G{T}^{2}}$
• C． 恒星a与行星b的质量之比为$\frac{l-{r}_{b}}{{r}_{b}}$
• D． 恒星a的运动可以等效于静止在O点，质量为$\frac{4{π}^{2}{{r}_{b}}^{3}}{G{T}^{2}}$的天体做半径为（l-r_b）的圆周运动

Answer 1

分析 双星系统中，两颗星球绕同一点做匀速圆周运动，且两者始终与圆心共线，相同时间内转过相同的角度，即角速度相等，则周期也相等．但两者做匀速圆周运动的半径不相等．

解答 解：ABC、由题意可知，a和b到O点的距离分别为$（l-{r}_{b}^{\;}）$和${r}_{b}^{\;}$，设两星质量分别为${M}_{1}^{\;}$和${M}_{2}^{\;}$，由万有引力定律和牛顿第二定律及几何条件可得：
对${M}_{1}^{\;}$：$G\frac{{M}_{1}^{\;}{M}_{2}^{\;}}{{l}_{\;}^{2}}={M}_{1}^{\;}（\frac{2π}{T}）_{\;}^{2}（l-{r}_{b}^{\;}）$，即：${M}_{2}^{\;}=\frac{4{π}_{\;}^{2}{l}_{\;}^{2}（l-{r}_{b}^{\;}）}{G{T}_{\;}^{2}}$
对${M}_{2}^{\;}$：$G\frac{{M}_{1}^{\;}{M}_{2}^{\;}}{{l}_{\;}^{2}}={M}_{2}^{\;}（\frac{2π}{T}）_{\;}^{2}{r}_{b}^{\;}$，即：${M}_{1}^{\;}=\frac{4{π}_{\;}^{2}{l}_{\;}^{2}{r}_{b}^{\;}}{G{T}_{\;}^{2}}$
两式相加得${M}_{1}^{\;}+{M}_{2}^{\;}=\frac{4{π}_{\;}^{2}{l}_{\;}^{2}}{G{T}_{\;}^{2}}（l-{r}_{b}^{\;}+{r}_{b}^{\;}）$=$\frac{4{π}_{\;}^{2}{l}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
恒星a与b的质量之比为$\frac{{M}_{1}^{\;}}{{M}_{2}^{\;}}=\frac{{r}_{b}^{\;}}{l-{r}_{b}^{\;}}$，故AC错误，B正确；
D、将该系统等效成中心天体和环绕天体，再根据${F}_{引}^{\;}$=${F}_{向}^{\;}$，即$G\frac{Mm}{（l-{r}_{b}^{\;}）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（l-{r}_{b}^{\;}）$，得$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}（l-{r}_{b}^{\;}）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$，故D错误；
故选：B

点评 本题考查万有引力中的双星模型以及万有引力公式中各物理量得物理意义．学生对万有引力公式和向心力公式中R的物理意义分不清，找不到双星模型的特点，找不到它们之间相等的物理量．