Question

2．如图所示，竖直圆筒是固定不动的，筒的上部有一细管（体积不计）与大气相通，粗筒B横截面积是细筒A的4倍．B筒中a、b两轻质活塞间封有空气，气柱长L=20cm．活塞a上方的水银深H=10cm，A筒的长为3H，两活塞与筒壁间的摩擦不计．打开阀门S，用外力向上托住活塞b，使之处于平衡状态，水银面与B筒上端相平．现关闭阀门S．使活塞b缓慢上移，直至水银的一半被推入A筒中．设在整个过程中气柱的温度不变，大气压强P₀=1×10⁵Pa，相当于76cm高的水银柱产生的压强．求：
（i）活塞b上移后A筒中气体的压强；
（ii）活塞b上移的距离．

Answer 1

分析 （1）对A中气体根据玻意耳定律求解活塞b上移后A筒中气体的压强
（2）对B中的气体根据玻意耳定律求出末态B筒中末态气柱的长度，由几何关系求解活塞b上移的距离；

解答 解：（i）设A筒的横截面积为S（$c{m}_{\;}^{2}$），A中气体初态的压强为${p}_{A}^{\;}$，A中气体初态的体积为${V}_{A}^{\;}$，则有
${p}_{A}^{\;}={p}_{0}^{\;}=1×1{0}_{\;}^{5}{p}_{a}^{\;}$
${V}_{A}^{\;}=3HS=30Sc{m}_{\;}^{3}$
A中末态气柱的气体为：${V}_{A}^{\;}$'=${V}_{A}^{\;}$-$\frac{1}{2}H$•4S=10S$c{m}_{\;}^{3}$
由玻意耳定律：得${p}_{A}^{\;}{V}_{A}^{\;}$=${p}_{A}^{\;}$'${V}_{A}^{\;}$'
解得活塞b上移后A筒中气体的压强为：${p}_{A}^{\;}$'=$\frac{{p}_{A}^{\;}{V}_{A}^{\;}}{{V}_{A}^{\;}'}$=3×$1{0}_{\;}^{5}{p}_{a}^{\;}$
（ii）设B中气体初态的压强为${p}_{B}^{\;}$，末态的压强为${p}_{B}^{\;}$'，则有：
${p}_{B}^{\;}={p}_{0}^{\;}+\frac{H}{76cm}{p}_{0}^{\;}=\frac{43}{38}{p}_{0}^{\;}$
${p}_{B}^{\;}$'=${p}_{A}^{\;}$'+$\frac{H}{2×76cm}{p}_{0}^{\;}$+$\frac{\frac{H}{2}•4S}{S×76cm}{p}_{0}^{\;}$=$\frac{253}{76}{p}_{0}^{\;}$
B中气体初态的体积为：${V}_{B}^{\;}=lS=20Sc{m}_{\;}^{3}$
B中气体末态的体积为：${V}_{B}^{\;}$'=l'S
由玻意耳定律得：${p}_{B}^{\;}{V}_{B}^{\;}={p}_{B}^{\;}$'${V}_{B}^{\;}$'
解得B筒中末态气柱的长度为：l'≈6.8cm
活塞b上移的距离为：$d=l-l′+\frac{H}{2}$
代入数据解得：d=18.2cm
答：（i）活塞b上移后A筒中气体的压强为$3×1{0}_{\;}^{5}{p}_{a}^{\;}$；
（ii）活塞b上移的距离为18.2cm

点评 解答该题的关键是分析水银柱高度的变化，要熟练的掌握被封闭气体的压强大小的计算方法．