Question

8．已知某卫星在半径为R的圆轨道上绕地球做匀速圆周运动，运动的周期为T，当卫星运动到轨道上的A处时适当调整速率，卫星将沿以地心为焦点的椭圆轨道运行，椭圆与地球表面在B点相切，如图所示．地球的半径为R₀，地球的质量为M，万有引力常量为G，则下列说法正确的是（　　）

• A． 卫星在A点应启动发动机减速才能进入椭圆轨道
• B． 卫星在A点速度改变进入椭圆轨道后加速度立即减小
• C． 卫星沿椭圆轨道由A点运动到B点所需时间为$\frac{\sqrt{2}}{8}$（1+$\frac{{R}_{0}}{R}$）${\;}^{\frac{3}{2}}$T
• D． 卫星在椭圆轨道上的B点和A点的速率之差等于$\sqrt{\frac{GM}{R{R}_{0}}}$（$\sqrt{R}$-$\sqrt{{R}_{0}}$）

Answer 1

分析 当万有引力不够提供向心力，做离心运动，当万有引力大于向心力时，做近心运动．根据开普勒第三定律确定周期后可确定卫星由A到B的时间．根据万有引力等于向心力求卫星做圆周运动的线速度．

解答 解：A、卫星在A点进入椭圆要做近心运动，万有引力应大于向心力，必须启动发动机减速，则A正确
B、卫星在A速度改变进入椭圆轨道后所受的万有引力增加，则加速度增加，故B错误
C、椭圆的轨道半长轴为$\frac{R+{R}_{0}}{2}$，设其周期为T′，根据开普勒第三定律$\frac{{r}^{3}}{{T}^{2}}$=k得 $\frac{{T}^{2}}{T{′}^{2}}$=$\frac{{R}_{0}^{3}}{（\frac{R+{R}_{0}}{2}）^{3}}$
卫星沿椭圆轨道由A点运动到B点所需时间为 t=$\frac{T′}{2}$，联立解得，t=$\frac{\sqrt{2}}{8}$（1+$\frac{{R}_{0}}{R}$）${\;}^{\frac{3}{2}}$T．故C正确；
D、在B点做离心运动，则卫星的速度大于$\sqrt{\frac{GM}{{R}_{0}}}$，在A点做近心运动，则其速度小于$\sqrt{\frac{GM}{R}}$，所以卫星在椭圆轨道上的B点和A点的速率之差一定大于$\sqrt{\frac{GM}{{R}_{0}}}$-$\sqrt{\frac{GM}{R}}$=$\sqrt{\frac{GM}{R{R}_{0}}}$（$\sqrt{R}$-$\sqrt{{R}_{0}}$），故D错误．
故选：AC

点评 解决本题的关键是要掌握开普勒第三定律和卫星的线速度公式，并能灵活运用，要理解并掌握卫星做离心运动和近心运动的条件．