Question

18．如图所示，一质量为M=2m的带有弧形轨道的平台置于足够长的水平轨道上，弧形轨道与水平轨道平滑连接，但不固定水平轨道上静置一小球B．从弧形轨道上距离水平轨道h高处由静止释放一质量m_A=m的小球A，小球A沿轨道下滑后与小球B发生弹性正碰，碰后小球A被弹回，且恰好追不上平台．已知所有接触面均光滑，重力加速度为g．求：
（1）小球B的质量；（用m表示）
（2）碰撞过程中小球A对小球B所做的功；（用m、h、g表示）
（3）碰撞过程中小球A对小球B的冲量．（用m、h、g表示）

Answer 1

分析 （1）小球在圆弧轨道上运动的过程中，二者组成的系统水平方向的动量守恒，系统的机械能守恒，小球A、B碰撞过程动量守恒、能量守恒，联立即可求出B的质量；
（2）以小球B为对象，由动能定理可求解A对小球B所做的功；
（3）以小球B为对象，由动量定理可求解A对小球B的冲量．

解答 解：（1）设小球A下滑到水平轨道上时的速度大小为v₁，平台的水平速度大小为v，以小球A和平台为系统，由于系统在水平方向上不受外力作用，因此系统在水平方向上动量守恒：0=m_Av₁-Mv
由机械能守恒定律有：${m}_{A}gh=\frac{1}{2}{m}_{A}{v}_{1}^{2}+\frac{1}{2}M{v}^{2}$
联立解得：${v}_{1}=\frac{2}{3}\sqrt{3gh}，\\;v=\frac{1}{3}\sqrt{3gh}$$v=\frac{1}{3}\sqrt{3gh}$
小球A、B碰撞后运动方向相反，设小球A、B碰撞后速度大小分别为v_A、v_B，则：
m_Av₁=m_A（-v_A）+m_Bv_B
能量守恒：$\frac{1}{2}{m}_{A}{v}_{1}^{2}=\frac{1}{2}{m}_{A}{v}_{A}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{B}{v}_{B}^{2}$
由题意可知，小球A恰好追不上平台，即：${v}_{A}=v=\frac{1}{3}\sqrt{3gh}$
联立解得：m_B=3m，${v}_{B}=\frac{1}{3}\sqrt{3gh}$
（2）以小球B为对象，由动能定理有：$W=\frac{1}{2}{m}_{B}{v}_{B}^{2}-0=\frac{1}{2}mgh$
（3）以小球B为对象，以水平向右为正方向，由动量定理有：
$I={m}_{B}{v}_{B}-0=m\sqrt{3gh}$，方向水平向右
答：（1）小球B的质量为3m；
（2）碰撞过程中小球A对小球B所做的功为$\frac{1}{2}mgh$；
（3）碰撞过程中小球A对小球B的冲量大小为$m\sqrt{3gh}$，方向水平向右．

点评 该题考查动量守恒、能量守恒定律的综合应用，要注意在分析问题时，正确选择研究对象系统，明确动量守恒的条件及应用．