Question

4．如图所示，ABC是一直角三角形棱镜的横截面，位于截面所在平面内的一束光线由O点垂直BC射入，已知棱镜的折射率n=$\sqrt{2}$，AB=8L，OB=$\sqrt{3}$L，∠CAB=15°，已知sin15°=$\frac{{\sqrt{6}-\sqrt{2}}}{4}$．
①求光线第一次射出棱镜时，出射光线的方向；
②求从O点入射到第一次输出，光线在棱镜中所用的时间．

Answer 1

分析 ①根据sinC=$\frac{1}{n}$求出临界角，由几何知识和光的反射定律求出光线在AC面和AB面的入射角，确定光线第一次射出棱镜时出射光线与AB夹角；
②由几何知识求出光线棱镜中传播的路程，由v=$\frac{c}{n}$求出光线在棱镜中传播速度，再求光线在棱镜中所用的时间．

解答 解：①设临界角为C，由$sinC=\frac{1}{n}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得：C=45°．
由几何知识有∠r₁=90°-15°=75°，∠r₃=∠r₂-15°=45°，∠r₂=∠r₁-15°=60°
因为C=45°，所以在E、F、G点均全反射，∠r₄=∠r₃-15°=30°
由$n=\frac{{sin{i_4}}}{{sin{r_4}}}$，得：∠i₄=45°
故出射光线的方向与AB夹角为45°斜向左下方．
②由$n=\frac{c}{v}$得：$v=\frac{{\sqrt{2}}}{2}c$
由对称性可知 EF=EF₁，FG=F₁G₁，GH=G₁H₁
所以 x=OE+EF+FG+GH=OH₁
$tan∠{r_5}=\frac{{{H_1}N}}{AN}$，其中∠r₅=60°，${H_1}N=OB=\sqrt{3}L$
得：AN=L，x=OH₁=AB-AN=7L
则光线在棱镜中所用的时间为：$t=\frac{x}{v}$
联立解得：$t=\frac{{7\sqrt{2}L}}{c}$
答：①出射光线的方向与AB夹角为45°斜向左下方．
②从O点入射到第一次输出，光线在棱镜中所用的时间为$\frac{7\sqrt{2}L}{c}$．

点评 解决本题的关键掌握全发射的条件，以及折射定律，作出光路图，结合几何关系进行求解．作光路图时要注意光线必须画实线、法线必须画虚线．