Question

19．足够长的平行金属轨道M，N，相距L=0.5m，且水平放置；M，N左端与半径R=0.4m的光滑竖直圆轨道相连，金属棒b和c可在轨道上无摩擦地滑动，两金属棒的质量m_b=m_c=0.1kg，电阻R_b=R_c=1Ω，轨道的电阻不计．平行水平金属轨道M，N处于磁感应强度B=1T的匀强磁场中，磁场方向与轨道平面垂直，光滑竖直圆轨道在磁场外，如图所示，若使b棒以初速度v₀=10m/s开始向左运动，求：
（1）c棒的最大速度；
（2）c棒中产生的焦耳热；
（3）若c棒达到最大速度后沿圆轨道上滑，求金属棒c达轨道最高点时对轨道的压力的大小．

Answer 1

分析 （1）根据动量守恒定律求解c棒的最大速度；
（2）根据能量守恒定律求解两棒中产生的总热量，再根据热量分配关系求解c棒中产生的焦耳热；
（3）由机械能守恒求解最高点的速度，在最高点由牛顿第二定律和牛顿第三定律解得在最高点C棒对轨道的压力．

解答 解：（1）在磁场力作用下，b棒做减速运动，c棒做加速运动，当两棒速度相等时，c棒达最大速度．
选两棒为研究对象，根据动量守恒定律有：m_bv_o=（m_b+m_c）v 
解得c棒的最大速度为：v=$\frac{m_b}{{{m_b}+{m_c}}}$v_o=$\frac{1}{2}$v_o=5 m/s；
（2）从 b 棒开始运动到两棒速度相等的过程中，系统减少的动能转化为电能，两棒中产生的总热量为：Q=$\frac{1}{2}$mv_o²-$\frac{1}{2}$（m_b+m_c）v²=2.5 J，
因为 R_b=R_c 所以 c 棒中产生的焦耳热为：Q_c=$\frac{Q}{2}$=1.25 J；
（3）对c棒，沿圆轨道滑到最高点时的速度为v'，上升到最高点的过程由机械能守恒可得：$\frac{1}{2}m{v^2}-\frac{1}{2}m{v'^2}=mg2R$，
解得v'=3m/s
最高点，设轨道对C棒的支持力为F，由牛顿第二定律得$mg+F=m\frac{{{{v'}^2}}}{R}$，
解得F=1.25N，
由牛顿第三定律得，在最高点C棒对轨道的压力为1.25N．
答：（1）c棒的最大速度为5 m/s；
（2）c棒中产生的焦耳热为1.25 J；
（3）若c棒达到最大速度后沿圆轨道上滑，金属棒c达轨道最高点时对轨道的压力的大小为1.25N．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，重点是分析安培力作用下导体棒的平衡问题，根据平衡条件列出方程；另一条是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系、动量守恒定律等列方程求解．