Question

8．如图所示，两平行金属导线MN、PQ固定在一绝缘水平面内，导轨电阻不计，间距为L，导轨平面处在一方向竖直向下的磁场中，两端M、P之间连接一阻值为R的定值电阻，质量为m、阻值为r的导体棒ab垂直导轨放置，且距MP端也为L，现对导体棒施加一水平外力，使之从静止开始以加速度a沿x轴的正方向运动，设棒的初始位置为坐标原点，平行导轨向右为x轴正方向，棒刚运动开始计时，试求：
（1）若初始磁场的磁感应强度大小为B₀，为使棒在运动过程中始终无感应电流产生，则B随坐标x变化的规律；
（2）若磁场的磁感应强度随时间变化的规律为B′=kt（k为正常数），则运动的棒在t₁时刻受到的拉力大小．

Answer 1

分析 （1）在闭合电路中产生感应电流的条件是：穿过闭合导体回路的磁通量发生变化，则要使棒在运动过程中始终无感应电流产生，意味着穿过闭合导体回路的磁通量始终不发生变化，由此可推导出B随x变化的规律
（2）在导体棒运动时，闭合电路中既有导体棒切割磁感线产生的感应电动势也有因磁场变化产生的感应电动势，求出两种情况下感应电动势之后，由闭合电路欧姆定律求出感应电流，即可根据安培力计算公式求解出t₁时刻的安培力

解答 解：（1）设时刻t金属杆与初始位置的距离为x，为使杆运动过程中始终无感应电流产生，只需回路中磁通量保持不变，则B₀L²=BL（L+x），故B=$\frac{{B}_{0}L}{L+x}$
（2）经t₁时间，杆的速度为v=at₁，x=$\frac{1}{2}\\;a{t}_{0}^{2}$at₁²
此时杆与导轨构成的回路的面积S=L（L+x）=L（L+$\frac{1}{2}\\;a{t}_{0}^{2}$at₁²）
回路中的感应电动势E=S$\frac{△{B}^{/}}{△t}$+B′Lv
而B′=kt，故$\frac{△{B}^{/}}{△t}=k$
回路中的感应电流I=$\frac{E}{R+r}$
取棒为研究对象，由牛顿第二定律得：F-B′IL=ma
解得：F=$\frac{{k}^{2}{L}^{2}{t}_{1}}{2（R+r）}（2L+3a{t}_{1}^{2}）+ma$
答：（1）B随坐标x变化的规律为$\frac{{B}_{0}L}{L+x}$
（2）运动的棒在t₁时刻受到的拉力大小为$\frac{{k}^{2}{L}^{2}{t}_{1}}{2（R+r）}（2L+3a{t}_{1}^{2}）+ma$

点评 （1）本题考查了产生感应电流的条件、牛顿第二定律、闭合电路欧姆定律及安培力的计算
（2）在导体棒运动时，闭合电路中既有导体棒切割磁感线产生的感应电动势也有因磁场变化产生的感应电动势，求出两种情况下感应电动势之后，由闭合电路欧姆定律求出感应电流，即可根据安培力计算公式求解出t₁时刻的安培力，属于综合性较强的问题