Question

12．如图所示，两个光滑绝缘的矩形斜面WRFE、HIFE对接在EF处，倾角分别为α=53°、β=37°．质量为m₁=1kg的导体棒AG和质量为m₂=0.5kg的导体棒通过跨过EF的柔软细轻导线相连，两导体棒均与EF平行、先用外力作用在AG上使它们静止于斜面上，两导体棒的总电阻为R=5Ω，不计导线的电阻．导体棒AG下方为边长L=1m的正方形区域MNQP有垂直于斜面向上的、磁感强度B₁=5T的匀强磁场，矩形区域PQKS有垂直于斜面向上的、磁感强度B₂=2T的匀强磁场，PQ平行于EF，PS足够长．已知细导线足够长，现撤去外力，导体棒AG进入磁场边界MN时恰好做匀速运动．（sin37°=0.6、sin53°=0.8，g=10m/s²，不计空气阻力．）求：
（1）导体棒AG静止时与MN的间距x
（2）当导体棒AG滑过PQ瞬间（记为t=0s），为了让导体棒AG继续作匀速运动，MNQP中的磁场开始随时间按B_1t=5+kt（T）变化．求：①1s内通过导体棒横截面的电量；②k值．

Answer 1

分析 （1）导体棒AG到达MN之前，AG棒沿斜面向下做匀加速运动，CD棒沿斜面向上做匀加速运动且加速度大小相等，设加速度为a，分别取AG棒、CD棒为研究对象，由牛顿第二定律可求解出加速度a．AG棒到达MN时做匀速运动，分别取AG棒、CD棒为研究对象，根据平衡条件可求得AG棒到达MN时的速度v，结合运动学公式可计算出导体棒AG静止时与MN的间距x；
（2）当导体棒AG滑过PQ后继续做匀速直线运动，取AG棒为研究对象，结合受力分析可求出通过导体棒的电流I进而可根据q=It计算出通过导体棒横截面的电量
（3）当导体棒AG滑过PQ做匀速直线运动的过程中，回路中既有导体棒AG切割磁感线产生的感应电动势E₁又有正方形区域MNQP 磁通量发生改变产生的感应电动势E₂，故此时闭合回路中的感应电动势为E=E₁+E₂

解答 解：（1）导体棒AG到达MN之前，AG棒沿斜面向下做匀加速运动，CD棒沿斜面向上做匀加速运动且加速度大小相等，设加速度为a，细轻导线拉力为T₁，由牛顿第二定律
对AG棒   m₁gsinα-T₁=m₁a…①
对CD棒   T₁-m₂gsinβ=m₂a…②
AG棒到达MN时做匀速运动，设速度为v，由平衡条件
对AG棒    ${m_1}gsinα-{T_2}-\frac{{B_1^2{L^2}v}}{R}=0$…③
对CD棒     T₂-m₂gsinβ=0…④
由运动学公式   v²=2ax…⑤
联立①～⑤式得   x=0.15m…⑥
（2）导体棒AG滑过PQ后继续作匀速运动，对棒AG由平衡条件m₁gsinα-T₂-B₂IL=0…⑦
1s内通过导体棒横截面的电量 q=It…⑧
联立④⑦⑧得   q=2.5C…⑨
导体棒AG滑过PQ后，切割磁感线产生的感应电动势E₁=B₂Lv…⑩
正方形区域MNQP 磁通量发生改变产生的感应电动势${E_2}=\frac{{△B•{L^2}}}{△t}=k{L^2}$…⑪
又由闭合电路欧姆定律  $I=\frac{{{E_1}+{E_2}}}{R}$…⑫
联立得   k=10.5
答：
（1）导体棒AG静止时与MN的间距为0.15m
（2）①1s内通过导体棒横截面的电量为2.5C；②k值为10.5．

点评 （1）此题考查了法拉第电磁感应定律、导体棒切割磁感线时感应电动势的计算、安培力的计算、物体的平衡和牛顿第二定律，属于多物体多过程的复杂问题
（2）利用好AG棒做匀速直线运动是处理本题的基础，分别取棒AG和棒CD为研究对象进行分析是关键
（3）因AG棒滑过PQ后做匀速直线运动，故通过AG棒的感应电流为定值，此时求解电路中的电荷量可用q=It直接进行计算