Question

9．一辆巡逻车最快能在10s内由静止加速到最大速度50m/s，并能保持这个速度匀速行驶．该巡逻车在平直的高速公路上由静止开始追上前方2000m处正以35m/s的速度匀速行驶的汽车．求：
（1）巡逻车追上汽车至少需要多长时间？
（2）巡逻车用第（1）问的方式追击，追上汽车前，两车相距最大距离是多少？

Answer 1

分析 （1）巡逻车追赶汽车的过程是先做匀加速直线运动后做匀速直线运动，追赶上时巡逻车和汽车的位移存在这样的关系，x₁=x₂+2000m，x₁表示巡逻车的位移，x₂表示汽车的位移．根据运动学公式，结合位移关系求出追及的时间．
（2）当二者的速度相等时，二者之间的距离最大，由运动学公式即可求出最大距离．

解答 解：（1）设至少经过时间t追上，此时卡车的位移为：x₂=v₂t，
巡逻车匀加速运动的位移为：x′=$\frac{{v}_{m}}{2}{t}_{0}=\frac{50}{2}$×10m=250m，
匀速运动的位移为：x″=v_m（t-10）
则巡逻车的位移为：x₁=x′+x″=250+50×（t-10）=50t-250
巡逻车追上卡车时满足：x₁=x₂+2000m
代入数据得：t=150s．
故巡逻车追上汽车，至少需要150s．
（2）巡逻车的速度小于卡车速度时两者的距离越来越大，当两得速度相等时，两车的距离保持不变，当巡逻车速度大于卡车速度时两者距离越来越小，故两车距离最大时两车的速度相等．
此时巡逻车运动的时间为：t=$\frac{{v}_{卡}}{a}=\frac{{v}_{卡}}{\frac{{v}_{m}}{{t}_{0}}}=\frac{35}{\frac{50}{10}}$s=7s，
故此时巡逻车的位移为：x₁=$\frac{{v}_{卡}}{2}t=\frac{35}{2}$×7s=122.5m
卡车的位移为：x₂=v_卡t=35×7m=245m
此时两车相距的最大距离为：△x=2000+x₂-x₁=2000+245-122.5m=2122.5m．
答：（1）巡逻车至少需要150s才能追上卡车？
（2）在追赶的过程中，巡逻车和卡车的最大距离是2122.5m．

点评 解决本题的关键知道巡逻车追赶汽车的过程是先做匀加速直线运动后做匀速直线运动，追赶上时巡逻车和汽车的位移存在这样的关系，x₁=x₂+2000m．追赶过程中两车距离最大时两车速度相等．