Question

6．如图所示，某三棱镜的截面是一直角三角形，其中∠ACB=60°．棱镜材料的折射率为n，底面BC涂黑，入射光沿平行于底面BC的方向射向AC，为了使上述入射光线能从AB面射出，求：
（1）折射率n的取值范围；
（2）若入射光线沿平行于底面BC的方向射向AC面的P点，而后经AC折射后恰好在AB面中点Q发生全反射，其中AB=L，求AP的长度．

Answer 1

分析 （1）为了使光线能从AB面射出，在AB面上的入射角必须小于临界角，根据折射定律求出光线AC面时的折射角，由几何关系和全反射条件结合求解折射率n的取值范围．
（2）根据折射定律和几何知识结合求解AP的长度．

解答 解：（1）设在AC面折射角为β，则有$\frac{sinα}{sinβ}=n$
设在AB面入射角为θ，有$θ+β=\frac{π}{2}$
为了使上述入射光线能从AB面射出，则有 θ＜C

又 $sinC=\frac{1}{n}$
解得 $n＜\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
（2）如图所示依据题意有 $\frac{sinα}{sinβ}=n$
$sinθ=\frac{1}{n}$
由几何知识有 $θ+β=\frac{π}{2}$
由以上各式得：$tanβ=\frac{1}{2}$
则AP的长度为 L_AP=$\frac{L}{2}$tanβ=$\frac{L}{4}$
答：
（1）折射率n的取值范围为$n＜\frac{{\sqrt{5}}}{2}$．
（2）AP的长度为$\frac{L}{4}$．

点评 几何光学画出光路图是解题的基础，本题的关键是掌握全反射条件，结合几何知识和折射定律进行研究．