Question

8．如图所示，遥控电动赛车通电后电动机以额定功率P=3W工作，赛车（可视为质点）从A点由静止出发，经过时间t（未知）后关闭电动机，赛车继续前进至B点后水平飞出，恰好在C点沿着切线方向进入固定在竖直平面内的圆弧形光滑轨道，通过轨道最高点D水平飞出，E点为圆弧形轨道的最低点．已知赛车在水平轨道AB部分运动时受到恒定阻力f=0.5N，赛车的质量m=0.8kg，轨道AB的长度L=6.4m，B、C两点高度差h=0.45m，赛车在C点的速度大小v_c=5m/s，圆形轨道的半径R=0.5m．不计空气阻力．取g=10m/s²．sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）赛车运动到B点时的速度v_B的大小；
（2）赛车电动机工作的时间t；
（3）赛车经过最高点D时对轨道的压力的大小．

Answer 1

分析 （1）根据平抛运动的高度求出平抛运动的时间，结合速度时间公式求出竖直分速度，根据平行四边形定则求出赛车到达B点的速度．
（2）在A到B的过程中，根据动能定理求出赛车电动机工作的时间．
（3）根据平行四边形定则求出圆心O与C点的连线与竖直方向的夹角．结合机械能守恒求出D点的速度，根据牛顿第二定律求出赛车经过最高点D时轨道对小车的弹力．

解答 解：（1）赛车从B点到C点的过程做平抛运动，根据平抛运动规律有：
h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
解得：t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×0.45}{10}}s=0.3s$，
v_y=gt=10×0.3m/s=3m/s，
${{v}_{C}}^{2}={{v}_{y}}^{2}+{{v}_{B}}^{2}$，
代入数据解得赛车在B点的速度大小为：
v_B=4m/s．
（2）赛车从A点运动到B点的过程中，由动能定理有：
$Pt-fL=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，
代入数据解得：t=3.2s．
（3）设圆弧轨道的圆心O与C点的连线与竖直方向的夹角为α，则有：
$tanα=\frac{{v}_{y}}{{v}_{B}}=\frac{3}{4}$，
代入数据解得：α=37°，
赛车从C点运动到最高点D的过程中，由机械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}+mgR（1+cosα）$，
设赛车经过最高点D处轨道对小车的压力为F_N，则有：
$mg+{F}_{N}=m\frac{{{v}_{D}}^{2}}{R}$，
代入数据解得：F_N=3.2N．
根据牛顿第三定律得赛车对轨道的压力为：
F_N′=3.2N．
答：（1）赛车运动到B点时的速度v_B的大小为4m/s；
（2）赛车电动机工作的时间t为3.2s；
（3）赛车经过最高点D时对轨道的压力的大小为3.2N．

点评 本题考查了平抛运动和圆周运动与动能定理的综合运用，知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律以及圆周运动向心力的来源是解决本题的关键．