Question

19．由武汉大学多个院士领衔研发的“珞珈一号”卫星（包含01星和02星），01星是全球首颗专业夜光遥感卫星，计划在今年年底发射，02星在国际上首次试验雷达卫星多角度成像模式，预计在2019年发射．设02星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径是01星的n倍，则在相同的时间t内（　　）

• A． 02星宇地球球心连线扫过的面积是01星的$\sqrt{n}$倍
• B． 02星与地球球心连心扫过的面积是01星的n倍
• C． 02星与地球球心连线扫过的面积是01星的$\sqrt{\frac{1}{n}}$倍
• D． 02星与地球球心连线扫过的面积是01星的$\frac{1}{n}$倍

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力求出02星与01星的线速度之比，求出两星的弧长之比，根据扇形的面积公式即可求解02星与地球球心连线扫过的面积与01星与地球球心连线扫过的面积之比

解答 解：根据万有引力提供向心力，有$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$，得$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$
所以02星与01星的线速度之比为$\frac{{v}_{2}^{\;}}{{v}_{1}^{\;}}=\sqrt{\frac{{r}_{1}^{\;}}{{r}_{2}^{\;}}}=\frac{1}{\sqrt{n}}$
02星运动的弧长与01星运动的弧长之比为$\frac{{l}_{2}^{\;}}{{l}_{1}^{\;}}=\frac{{v}_{2}^{\;}t}{{v}_{1}^{\;}t}=\frac{1}{\sqrt{n}}$
根据扇形的面积公式$S=\frac{1}{2}lR$
02星与地球球心连线扫过的面积与01星与地球球心连线扫过的面积之比为
$\frac{{S}_{2}^{\;}}{{S}_{1}^{\;}}=\frac{\frac{1}{2}{l}_{2}^{\;}{r}_{2}^{\;}}{\frac{1}{2}{l}_{1}^{\;}{r}_{1}^{\;}}=\frac{1}{\sqrt{n}}•n=\sqrt{n}$，故A正确，BCD错误；
故选：A

点评 解决本题的关键是抓住卫星运动的核心原理万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$，同时要灵活运用几何知识如扇形的面积公式求解．